五奥第9讲容斥原理.doc

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1、第九讲容斥原理教学目标：让学生掌握容斥原理的基本类型，并能运用此类题的解题方法灵活地解决问题。教学重点：1、学会基本的容斥原理公式及其分类。2、运用容斥原理的基本方法解决问题，做到不重不漏。教学难点：1、能解决较复杂的容斥原理问题。2、含三类的容斥原理。教学过程一、故事引入，揭示课题，明确容斥原理的基本类型与解题方法。故事引入：森林里住着很多动物，狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数，蝙蝠跑去说：“我有翅膀，我算鸟类。”仙鹤把蝙蝠统计进去了，结果得出森林中共有80种鸟类。狮子大王又派大象去统计兽类的种类，蝙蝠又跑

2、去说：“我没有羽毛，我算兽类。”结果统计出森林中共有70种兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果，向狮子大王报告：“森林中鸟类与兽类共计150种。”这个统计对吗？兔子跑过来说：“不对，因为在这个统计中，蝙蝠被算了两次。”正确答案应该是80+70－1=149（种）。师：在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重

3、复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。知识点：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。二、教学例题，掌握技巧。例1、一个班有学生45人，参加数学兴趣小组有30人，参加音乐兴趣小组的有22人，并且每人至少参加一个班，这个班两组都参加的有多少人？分析：直接用公式解答：30+22—45=7（人）课堂练习32页练习1答案25+20=45（人）40—10=30.（人）45—30=15（人）小

4、结：先计算出所有情况情况，再减去多算的。就可以计算出所用数目。师：刚才我们学了最简单的容斥原理，下面看一个较复杂的例2、在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？分析：先分别求出能被3与被5整除的个数，再减去既能被3整除又能被5整除（即能被15）整除的数。解答：1000÷3=333（个）……11000÷5=200（个）[3，5]=151000÷15=66（个）……10333+200—66=467（个）1000—467=533（个）课堂练习：在1到100的自然数

5、中，能被2或3整除的数共有多少个？答案100÷2=50（个）100÷3=33（个）……1[2，3]=6100÷6=16（个）……650+33—16=67（个）小结：通过分析，将题目转化为容斥原理。即先分别求出能被3与被5整除的个数，再减去既能被3整除又能被5整除的数。答：能被3或5整除的数共有467个，不能被3或5整除的数共有533个,。师：前面的都是含两个的容斥原理，下面我们来学习三个的。知识点：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个

6、数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。例3、（原例4）某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的多少人？分析：本题是一道容斥原理2的应用，直接用公式即可解答：25+22+34—12—18—14=37（人）54—37=17（人）答：三项都

7、参加的17人。课堂练习33页第5题答案：24+31+20—5—6—7+3=60（人）刚才是一个直接的容斥原理，下面我们来看一个容斥原理的应用。这一题需要较强的分析能力。例4、（原例5）在一根长木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？分析：师：题目中没有告诉我们木棍的长度，那锯成几段后该怎样计算？能不能设一个长度呢？生：能。师：那设什么数最简单呢?生：10,12,15的最小公倍数。解答：[10，

8、12，15]=6060÷10=660÷12=560÷15=4师：每隔4，5，6就会锯一段，但是中间会有重复的，[4，5]=20[4，6]=12[5，6]=30[4，5，6]=6060÷20=3（段）60÷12=5（段）60÷30=2（段）60÷60=1（段）10+12+15—3—5—2+1=28（段）答：，木棍总共被锯成28段。小结：本题首先要明白如何设数，在数字大小对题目结果没有影响的前提下，一般情况下设最小公倍数。其次，将