圆锥曲线几何最值专题训练.doc

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1、专题二压轴解答题第二关以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题【名师综述】解析几何中的范围、最值和离心率问题仍是高考考试的重点与难点，试题难度较大．注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值．类型一离心率问题典例1如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，点是椭圆的左顶点，过原点的直线与椭圆交于，两点（在第三象限），与椭圆的右准线交于点.已知，且.（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆的标准方程.【答案】(1)；(2).（2）由（1），右准线方程为，直线的方程为，所以，，所以，，所以，椭圆的标准方程

2、为.【名师指点】求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定的等量关系，然后把用代换，求的值．【举一反三】已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为________.【答案】类型二最值、范围问题典例2已知椭圆的离心率为，圆与轴交于点，为椭圆上的动点，，面积最大值为．（1）求圆与椭圆的方程；（2）圆的切线交椭圆于点，求的取值范围．【答案】（1）圆的方程为，椭圆的方程为．（2）【解析】（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，因为直线与圆相切，所以，即，联立，消去可得，，令，则，所以，所以，所以②当直线的斜率不存在时，直线的方程为

3、，解得，综上，的取值范围是．【名师指点】求最值、范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围.【举一反三】已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，求的最小值.【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）的最小值为.【解析】（1）抛物线的焦点为，所以，又因为，所以

4、，所以，所以椭圆的标准方程为..易知的斜率为，所以..当，即时，上式取等号，故的最小值为.（ii）当直线的斜率不存在或等于零时，易得.综上，的最小值为.类型三面积问题典例3平面直角坐标系中，圆的圆心为.已知点，且为圆上的动点，线段的中垂线交于点.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，抛物线：的焦点为.，是过点互相垂直的两条直线，直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，求四边形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）四边形面积的取值范围是.（Ⅱ）∵的焦点为，的方程为，当直线斜率不存在时，与只有一个交点，不合题意.当直线斜率为时，可求得，，∴.当直线斜率存在且不为时，方程可设为，代入得，

5、，设，，则，，.直线的方程为与可联立得，设，，则，∴四边形的面积.令，则，，∴在是增函数，，综上，四边形面积的取值范围是.【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键．【举一反三】已知是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,且离心率为(1)求椭圆的方程；(2)若的角平分线所在的直线与椭圆的另一个交点为为椭圆上的一点,当面积最大时,求点的坐标.【答案】(1)(2)【解析】(1)由椭圆经过点,离心率,可得,解得,所以椭圆的标准方程为直线的方程为,设过点且平行于的直线为由,整理得由,解得,因为为直线在

6、轴上的截距,依题意,,故解得，，所以点的坐标为【精选名校模拟】1．如图，一张坐标纸上一已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）若直线与轨迹交于两个不同的点，且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】（2）与以为直径的圆相切，则到即直线的距离：，即，由，消去，得，∵直线与椭圆交于两个不同点，∴，，设，，则，，，又，∴，∴，设，则，∴，，∵关于在单调递增，∴，∴的面积的取值范围是.2.设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，过与垂直的直线交轴负半轴于点，且．（Ⅰ）求椭圆的

7、离心率；（Ⅱ）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；（Ⅲ）过的直线与（Ⅱ）中椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）椭圆的方程为；（Ⅲ）存在，直线的方程为.【解析】，再借助韦达定理来解决即可.试题解析：（Ⅰ）由题，为的中点．设，，则，，由题，即，即（Ⅲ）设，，由题异号．设的内切圆的半径为，则的