三角函数的值域和最值问题.doc

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1、三角函数的值域与最值一、主要方法及注意点：1．求值域或最值的常用方法有：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式，利用配方法或图象法求解；（3）借助直线斜率的关系用数形结合法求解；（4）换元法。2．要注意的问题有：（1）注意题设给定的区间；（2）注意代数代换或三角变换的等价性；（3）含参数的三角函数式，要重视参数的作用，很可能要进行讨论。二、基本练习：1．求下列函数的最大、最小值：（1）（2）解：∴y∈[,]解：（3）（4）解：解：y∈[1,6]2．若

2、x

3、

4、≤，则f(x)=cos2x+sinx的最小值是（D）A．B．C．－1D．3．求函数的值域：（1）y=3sinx－4cosx(2)f(x)=sinx+cosx(≤x≤)解：y∈[－5,5]解：又≤x≤∴y∈[－1,2]ABxyO4．（1）求函数（0

5、：例1．求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值。解：设t=sinx+cosx=sin(x+)∈[-,]，则sinx·cosx=∴＝(t+1)2-1,t=时，函数y的最大值为例2．已知cosx+cosy=，求cosx－sin2y的最大值和最小值。解：cosx－sin2y＝cosx-(1-cos2y)=cos2y-cosy-=(cosy-)2-∵-1≤cosx=-cosy≤1　　　又-1≤cosy≤1∴∴cosx－sin2y的最大值为，最小值为－例3．已知函数的定义域为[0，]，值域为[－5，1]，求常数a、b的值。解

6、：f(x)=a(1-cos2x)-asin2x+a+b=-2asin(2x+)+2a+b∵x∈[0，]则，于是当a>0时，，即当a<0时，，即例4．求函数的最大值和最小值。解：f(x)=2-4asinx-(1-2sin2x)=2sin2x-4asinx+1=2(sinx-a)2+1-2a2设sinx=t,-1≤t≤1,f(x)=g(t)=2(t-a)2+1-2a2当a<-1时，f(x)的最大值为g(1)＝3-4a,f(x)的最小值为g(－1)＝3＋4a.当-1≤a≤1时，f(x)的最小值为g(a)＝1-2a2,f(x)的最大值为g(

7、－1)或g(1)(其中之一).当a>1时，f(x)的最大值为g(-1)＝3+4a,f(x)的最小值为g(1)＝3-4a.*例5．已知0<α，β<，且sinβcscα=cos(α+β),α+β≠,求tanβ的最大值。解：＝cosα·cosβ－sinα·sinβ(+sinα)sinβ=cosα·cosβtanβ====此时tanα=即tanβ的最大值为四、巩固练习：A组1．函数y=sinx+cosx+2的最小值是（A）A．2-B．2+C．0D．12．当-≤x≤时，函数sinx+cosx的（D）A．最大值是1，最小值是-1B．最大值是1，

8、最小值是-C．最大值是2，最小值是-2D．最大值是2，最小值是-13．函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为（A）A．1+B．-1C．D．24．函数的最大值是（B）A．-1B．1+C．1-D．-1-5．函数f(x)=sin(πx+θ)cos(πx+θ)在x=2时取得最大值，则θ的一个值为（B）A．B．C．D．6．函数在区间[0，]上的最小值为,在区间[-，π]上的值域为[-,2]7.函数的最大值是3，最小值是。8．函数的值域是[2,+∞）。9．已知函数（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）求函数y的单调增区

9、间。解：（1）＝当2x+=+2kπ，即x=+kπ(k∈Z)时，y取最大值。∴（2）－＋2kπ≤2x+≤＋2kπ，(k∈Z)B组10．函数在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=－M，f(b)＝M，则在[a,b]上　　（　C　）A．是增函数　　　　　　　　　　　　B．是减函数　　　　C．可取得最大值M　　　　　　　　D．可取得最小值－M11．关于函数，有下面四个结论，①f(x)是奇函数；②当x>2003时，f(x)>恒成立；③f(x)的最大值是；④f(x)的最小值是；其中正确结论的个数为（A）A．1B．2C．3D．412．若对θ∈R恒

10、成立，求实数m的取值范围。解：1-sin2θ＋2msinθ-2m-2<0∴m(2sinθ-2)1－C组13．设（0≤x≤）.(1)