值域与最值问题

《值域与最值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、值域与最值问题一.观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+j2-3兀的值域。点拨:根据算术平方根的性质，先求出7(2—3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知丸2—3x)20,故3+、/(2—3x)23。・•・函数的知域为・点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y=[x](0

2、的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。点拨：先求II!原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1)定义域为歼1的实数，故函数y的值域为｛yIy#1,yeR｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数尸(i『+i(r)/(i(y—i(r)的值域。(答案：函数的值域为｛yiy<-i或y>1｝)三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=A/-x2

3、4-x+2的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由一x2+x+2>0,可知函数的定义域为xe[-l,2]oM-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4e[0,9/4].-.0<7-x2+x+2S3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而II要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习:求函数y=2x—5+J15-4兀的值域•(答案:值域为｛yIy<3｝)四.判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+

4、1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)当歼2时，由A=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)>0,解得：2

5、0)。一.最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值，并与边界值f(a).f(b)作比较，求出函数的最值，可得到函数y的值域。例5已知(2x2-x-3)/(3a:2+x+1)<0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：V3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3<0同解，解之得一仁XS3/2,又x+y=1,将y=1・x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1

6、],函数z在区间卜1,3⑵上连续，故只需比较边界的大小。当x=・1时,z=-5；当x=3/2时,z=15/4«・•・函数z的值域为{z

7、—5)(答案：D)。二.图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例6求函数y=Ix+1I+J(x_2)2的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。—2x+l,(xW-

8、1)解：原函数化为〉匸3,(-l2)画出它的图象，显然函数值y》3,所以，函数值域[3,+-]o点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。一.单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1求函数y=4x-J1—3兀(x<1/3)的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=-Vl-3x