关于函数值域与最值问题的求法

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1、关于函数值域与最值问题的求法摘要：　　关于函数的值域与最值的求法，是高中数学教学中的一个难点，也是一个重点。在现行高中教材中没有专门安排有关内容作出介绍，但在高中数学教学中、练习、习题中，乃至高中毕业会考题中、高考题中，却处处可遇到求函数值域与最值的问题。因此，我们有必要对求函数的值域与最值的方法作出充分的归纳与认识。本文就高中数学的要求，对常见的一些方法作出下列归纳与介绍。关键词：　　函数的值域，函数的最值，方法。函数的值域与最值是两个不同的概念，一般说来，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域，反之，一个函数的值域被确定

2、，这个函数也未必有最大值或最小值。但是，在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的。关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，但是有许多方法是类似的，归纳起来，常用的方法有：⑴配方法；⑵反函数法；⑶判别式法；⑷换元法（含式代换、三角代换等）；⑸单调性法；⑹不等式法；⑺数形结合法等。下面就这些方法逐一说明它们的运用。⒈　配方法利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如y=a[f(x)]2+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域与最值。例1、求函数y=x2-6x+2的值域

3、。解法一：∵　y=x2-6x+2＝(x-3)2－7　　　　又∵(x-3)2≥0　　　　　∴(x-3)2－7≥－7　　　　∴函数的值域是［－7，＋∞）＃这里用到了配方法求函数的值域。解法二：二次函数y=x2-6x+2是对称轴为x=3，开口向上的抛物线，故当x=3时，函数有最小值f(3)＝－7。　　∴函数的值域是［－7，＋∞）＃第6页这里运用了二次函数的图象和性质求值域。一般地，求一次、二次函数的值域与最值，还要考虑它们的定义域。例如，在例1中将题目改为：y=sin2x-6sinx+2，则函数的值域就不是［－7，＋∞）了。因为当x∈R

4、时，sinx∈[-1,1]，而sinx取不到3，则函数值取不到－7。解法一：∵　y=sin2x-6sinx+2　　　　　　＝(sinx-3)2-7　　（配方法）　　　又∵sinx∈[-1,1]，　　　　∴函数的值域是［－3，9］＃解法二：令sinx=t，则y=t2-6t+2t∈[-1,1]它的图象是抛物线的一段（如图）　　　　　　∴函数的值域是［－3，9］＃在此方法中用到了数形结合的方法。⒉　反函数法由互为反函数的两个函数具有的性质，可以通过求反函数的定义域来确定已知函数的值域。例2、求函数y=的值域。解：由于函数　y=　　的映射

5、是一一映射（证明略）故反函数存在，其反函数为y=(x≠)∴函数的值域为{y

6、y≠，且y∈R}＃说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用于形如y=(c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法（见方法5）。第6页⒊　判别式法一般地，求形如y=的有理分式函数的值域，可把原函数化成关于x的一元二次方程：　f(y)x2+g(y)x+ψ(y)=0,根据方程的判别式Δ＝g2(y)-4f(y)ψ(y)≥0求出y的取值范围，从而得出原函数的值域。但要注意几点：⑴在Δ≥0中，应考虑“＝”能否成立；⑵由于在

7、变形过程中涉及到去分母，故应考虑函数的定义域是否为R；⑶f(y)≠0，应验证f(y)＝0的情况。否则用“判别式法”求出的值域与最值是不可靠的。例3、求函数y=的值域。解：视y为参数，解关于x的方程，得　　　(y-2)x2+(y+3)x+(y-1)=0......(＊)∵原函数的定义域为R　　当y≠2时，方程（＊）有解的充要条件为　　　　Δ＝(y+3)2-4(y-2)(y-1)≥0解此不等式，得.又当y=2时，x=∴函数的值域是⒋　换元法当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个

8、（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向。换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）。在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代换。例4、求函数y=的最值。第6页解:令=t(t≥0)，则x=t2-2，从而y=≥0当t=0，即x=-2时，ymin=0当t＞0时，y=（当且仅当t=时，上式等号成立）于是当x=()2-2=－时，ymax=＃这里用到了式代

9、换及均值不等式的方法。例5、求函数y=x+的值域。分析：注意到sin2θ+cos2θ=1，故此可令x=sinθ.解：∵1-x2≥0,∴

10、x

11、≤1,设x=sinθ(θ∈)，则　　　y=sinθ+cosθ=sin(θ+)∵#这里用到了三角代换。⒌　单调