函数值域最值求法小结

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1、实用标准函数值域求法小结一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）1、求的值域。由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：2、求函数的值域。分析：首先由0，得+11，然后在求其倒数即得答案。解：0+11，０＜１，函数的值域为（０，１]．二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）1、求函数的值域。设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。2、求函数的值域。

2、解答：此题可以看作是和两个函数复合而成的函数，对配方可得：，得到函数的最大值，再根据得到为增函数且故函数的值域为：。3、若，试求的最大值。本题可看成一象限动点在直线上滑动时函数的最大值。利用两点(4，0)，(0，2)确定一条直线，作出图象易得：，y=1时，取最大值。精彩文档实用标准三、反函数法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求

3、原函数的值域。1、求函数的值域。由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。反解得即故函数的值域为：。（反函数的定义域即是原函数的值域）2、求函数的值域。解答：先证明有反函数，为此，设且，。所以为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：。此函数的定义域为，故原函数的值域为。四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断）1、求函数的值域。由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，

4、上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即△，△注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验。将分别代入检验得不符合方程，所以。2、求函数的值域。解答：先将此函数化成隐函数的形式得：，(1)精彩文档实用标准这是一个关于的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式，解得：。故原函数的值域为：。五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）1、求函数的值域。由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得

5、即：注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。2、已知是圆上的点，试求的值域。在三角函数章节中我们学过：注意到可变形为：令2p)则p)即故3、试求函数的值域。题中出现，而由此联想到将视为一整体，令由上面的关系式易得故原函数可变形为：六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）1、求函数的值域。分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式精彩文档实用标准，将原函数视为定点(2，3)到动点的斜率，又知动点满足单位

6、圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：2、求函数的值域。分析：此题首先是如何去掉绝对值，将其做成一个分段函数。在对应的区间内，画出此函数的图像，如图1所示，易得出函数的值域为。七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如：），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取成立的条件。）1、当时，求函数的最值，并指出取最值时的值。因为可利用不等式即

7、：所以当且仅当即时取“=”当时取得最小值12。2、双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（）。AB4C2D根据双曲线的离心率公式易得：，我们知道精彩文档实用标准所以（当且仅当时取“=”）而故（当且仅当时取“=”）。说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。3、求函数的值域。解答：，当且仅当时成立。故函数的值域为。此法可以灵活运用，对于分母为一次多项式的二次分式，当然可以运用判别式法求得其值域，但是若能变通地运用此法，可以省去判别式法中介二次不等式的过程。4、求函数的值域。解答：

8、此题可以利用判别式法求解，这里考虑运用基本不等式法求解此题，此时关键是在分子中分解出项来，可以一般的运用待定系数法完成这一工作，办法是设：，将上面等式的左边展开，有：，故而，。解得，。从而原函数；ⅰ)当时，，，此时，等号成立，当且仅当。ⅱ)当时，，，此时有，等号成立，当且仅当。综上，原函数的值域为：。八、部分分式法（分离常数法）（