三角函数最值或值域的求法

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1、word完美格式三角函数最值或值域的求法三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。类型一：利用这一有界性求最值。例1：求函数的值域。解：由变形为，知，则有，由，则此函数的值域是精心整理学习帮手word完美格式类型二：型。此类型通常可以可化为求其最值（或值域）。例2：求函数（）的最值。精心整理学习帮手word完美格式解法1：，∴函数的最大值为，最小值为。分析2：运用公式sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ解法2：∴函数的最大值为，最小值为。分析3：观察发现角与角的差恰好为，故将看成基本量，将函数化

2、归为同一角的函数式。解法3：（运用和差化积公式）∴函数的最大值为，最小值为。类型三：型。此类型可化为在区间上的最值问题。例3：求函数（）的最值分析：转化为一个角的同一种函数sinx，将问题化归为“二次函数”的最值问题，用配方法。解：精心整理学习帮手word完美格式∴函数的最大值为，最小值为精心整理学习帮手word完美格式例4：求函数（，）的最大值。解：转化为配方得：①当，即时，在sinx=1，即时，②当时，即时，在sinx=－1，即时，③当，即时，在，即或时，综上：精心整理学习帮手word完美格式类型四：型。此类型可利用倍角公式、半角公式进行

3、降次、整理，再利用辅助角公式求出最值。例5：求函数的最值，并求取得最值时x的值。分析：先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意角度的限定范围。解：由降幂公式和倍角公式，得∵，∴，∴∴的最小值为，此时，无最大值。精心整理学习帮手word完美格式类型五：型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。例6：求函数的值域。解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx,sinx)与定点Q(2,0)所确定的直线的斜率

4、的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为、。结合图形可知，此函数的值域是。解法2：将函数变形为，∴由，解得：，故值域是解法3：利用万能公式求解：由万能公式，，代入得到则有知：当，则，满足条件；当，由，，故所求函数的值域是。解法4：利用重要不等式求解：由万能公式，，代入得到当时，则，满足条件；当时，，如果t>0，则，此时即有；如果t<0，则精心整理学习帮手word完美格式，此时有。综上：此函数的值域是。类型六：含有的最值问题。解此类型最值问题通常令，，，再进一步转化为二

5、次函数在区间上的最值问题。例7：求函数的最大值并指出当x为何值时，取得最大值。解法1：，当sin2x=1，且，即，解得，解法2：设t=sinx+cosx，则∴∴∴∵当时，函数y是减函数∴∵当时，函数y是增函数∴∴即当时，，即，解得，∴时，。类型七：形如或型函数最值问题。构造条件并利用均值不等式求解。例8：求下列函数的量值并说明当x为何值时，取得最值。（1）；（2），；分析：观察发现可以用重要不等式求其最值。精心整理学习帮手word完美格式解（1）∵，，∴当且仅当，即时，等号成立，∴，，即当时，y有最小值，最小值为4，没有最大值。（2）∵∴，∴

6、，∴当且仅当时等号成立，∵时，显然，∴可得，即，解，∴当时，，∵，∴∴当，y有最大值，y无最小值。类型九：条件最值问题。例9：已知，求的取值范围。分析：用函数的思想分析问题，这是已知关于sinα，sinβ的二元条件等式求二元二次函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。解：∵，∴∵∴∵∵。∴sinα=0时，；时，∴。例10：求函数的最大值和最小值，并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。解：∵定义域为0≤x≤1，可设且，∴∵，∴，∴即∴当或，即θ=0或（此时x=1或x=0），y=1；当，即时，（此时），，精心整理学习帮手wor

7、d完美格式当x=0或x=1时，y有最小值1；当时，y有最大值。评析：利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。精心整理学习帮手