高考数学：常见函数值域或最值的经典求法

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1、【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.【方法点评】方法一观察法解题模板：第一步观察函数中的特殊函数；第二步利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例1求函数的值域.【解析】由函数，则：定义域为：得：，值域为：。【变式演练1】求函数的值域.【解析】∵2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤＜2

2、．故函数的值域是.方法二分离常数法解题模板：第一步观察函数类型，型如；第二步对函数变形成形式；第三步求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.例2求函数的值域.【变式演练2】求函数的值域.方法三配方法解题模板：第一步将二次函数配方成；第二步根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3求函数的值域.【变式演练3】已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因二次函数的对称轴为,且时,函数值,当时,,因此当时,.故当,故应选C.考点：二次函数的

3、图象和性质.方法四反函数法解题模板：第一步求已知函数的反函数；[来源:Z*xx*k.Com]第二步求反函数的定义域；第三步利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域例4设为，的反函数，则的最大值为．【答案】【变式演练4】求函数的值域.方法五换元法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.例5求函数的值域.例6求函数的值域.【解析】令，原函数化为，其开口向下，并且对称轴是，故当时取得最大值为，没

4、有最小值，故值域为.例7求函数，的值域.【变式演练5】若求函数的值域.方法六判别式法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，型如的函数；第二步将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域.例9求函数的值域.【变式演练6】求函数的值域.【解析】，当时方程有解，当时由可得，综上可知值域为.方法七基本不等式法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，型如或的函数；第二步对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.例10已知，求函数的最小值.例

5、11已知函数，求的值域.【解析】，，所以的值域为.【变式演练7】求函数的最小值.【变式演练8】若函数的值域为，则函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】考点：函数的性质；基本不等式.　　方法八单调性法解题模板：第一步求出函数的单调性；第二步利用函数的单调性求出函数的值域.例12求函数的值域.【点评】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.例13求函数的值域.【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.（

6、2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.（3）本题都是增函数，利用到了复合函数的单调性.【变式演练10】求函数的值域.【变式演练11】求函数的值域.【解析】由，解得，在此定义域内函数是单调递减，所以当时，函数取得最小值，，所以函数的值域是.方法九数形结合法解题模板：第一步作出函数在定义域范围内的图像；第二步利用函数的图像求出函数的值域.例14如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的

7、路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1），千米；（2）超过了3千米.【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.例15求函数的值域.【点评】（1）对于某些具有明显几何意义的函数

8、，我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找到函数对应的形态特征，再求该函数的值域.（2）由于对应着两点之间的斜率（差之比对应直线的斜率），所以本题可以利用斜率分析解答.例16求函数的值域.【解析】由得,所以函数的定义域是，设点，，所以,所以答案填：.【点评】要迅速地找到函数对应的形，必须注意积累.这样才能提高解题的效率.例17某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是4