专题02常见函数值域或最值的经典求法-高考数学解题模板

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1、专题2常见函数值域或最值的经典求法【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一，是高考中必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求•所以，我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.【方法点评】方法一观察法解题模板：第一步观察函数中的特殊函数；第二步利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例1求函数y=V16-4v的值域.【变式演练1】求函数.fg=』8-2x的值域.方法二.分离常数法+h解题模板：第一

2、步观察函数/（Q类型，型如/（兀）=；cx+d第二步对函数/（兀）变形成形式；ccx+d第三步求出函数y=—在/（兀）定义域范闱内的值域，进而求函数/（兀）的值域.cx+d例2求函数/（%）=丄上的值域・x-2【变式演练2】求函数y=5x-l4x-3的值域.方法三配方法解题模板：第一步将二次函数配方一成y=a(x-b)2+c；第二步根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3求函数/(x)=-x2+4x-6,xg[0,5]的值域.°25【变式演练3】已知函数y=/一3兀—4的定义域是10,/nJ,值

3、域为[-—-4],则加的取值范围是()4A.(0,4]B.[

4、,4]C.[

5、,3]D.[

6、,+oo)方法四反函数法解题模板：第一步求己知函数的反函数；第二步求反函数的定义域；第三步利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域V例4设/-1(%)为/(兀)=2"+守，“[0,2]的反函数，则y=.f(x)+.fT(x)的最大值为3兀+4【变式演练4】求函数/(%)=——的值域.5x4-6方法五换元法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，函数变量较多忖相互关联;・第二步另新元代换整体，得一新函

7、数，求出新函数的值域即为原函数的值域.例5求函数y=x+的值域•例6求函数y=x+Vl-2x的值域.例7求函数y=(sinx+l)(cosx+1)，xg的值域•122【变式演练5】1X—若05兀52,求函数y=.f(x)=42-3H2x+5的值域.方法六判别式法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，型如y=山:+欣+/的函数;or+bx+c第二步将函数式化成关于兀的方程，且方程有解，用根的判别'式求出参数y的取值范圉,即得函数的值域.2x2+4x—7例9求函数y=£―的值域.x2+2x+3【变式演练6】

8、求函数)；=x2+l的值域.方法七基本不等式法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，型如尸少+‘或y=的函数；ax+bx+cex+fb第二步对函数进行配凑成y=+—形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.5x1-4x+5例10已知x>-,求函数/(x)=-——「的最小值.22x-4例11已知函数f(x)=x+丄(05x53),求f(x)的值域.X+1【变式演练7]求函数/(x)=斗二的最小值.Vx2+1【变式演练8】若函数y=f(x)的值域为[丄,3〕，则函数F(x)=f(x)+-^~的

9、值域是()L2」f(x)T3「510151A.B・[2,日C._25T_D.7方法八单调性法解题模板：第一步求出函数的单调性；第二步利用函数的单调性求出函数的值域.例12求函数/(x)=logl(x2-3x+5)(0

10、C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往3地，经过f小时，他们之间的距离为/⑴(单位：千米).甲的路线是AB,速度为5千米/小时，乙的路线是ACB,速度为8千米/小时.乙到达3地后原地等待.设f=4时乙到达C地.(1)求人与/©)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当人G51时,求/(/)的表达式,并判断/(/)在[t{,1]上得最大值是否超过3?说明理由.3-sinx2一cosx的值域.例16求函数/(x)=ln(Jx^+x+l-

11、x/x2-兀+1)的值域例17某公司生产甲、乙两种桶装产品•已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元［a,a