三角函数值域和最值.doc

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1、教师姓名郭鹏学生姓名刘晓航填写时间年级高一升高二学科数学上课时间阶段基础（）提高（√）强化（）课时计划第（）次课共（）次课教学目标1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域；2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值；3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。教学重难点重点：求三角函数的最值与值域难点：灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域教学过程一、知识检测1．在下列说法中：（1）函数的最大值为3；

2、（2）函数最小值是4；（3）函数的值域是；(4)存在实数，使得成立．正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（4）C．（1）（3）D．（1）（4）2．函数的值域为（）A．[－1，1]B．C．D．3．函数的最大值为，最小值为．4．_________时，函数的最大值为__________5．函数的值域为6．函数（为常数，且）的最大值是1，最小值是，则函数的最大值是_______________.二、互动平台（Ⅰ）简单三角函数的值域【例1】1.求下列三角函数的值域.（1）（2）2.若函数的最大值是1，最小值是，求、.小结：求基本三角函数值域，一

3、定要结合三角函数的图像，故切记正、余弦函数的图像.（Ⅱ）与三角函数有关的复合函数的值域:型函数的值域【例2】【例3】求函数的值域小结：对于的最大值为，最小值为，若，，先由求出的范围，然后结合图像求出，即由内而外逐层求值域（Ⅲ）引入辅助角法：类型一：型.（此类型通常可以可化为求其最值（或值域）.）【例4】求函数（）的最值.解法:，∴函数的最大值为，最小值为.类型二：型.形如这种类型的，可利用倍角公式、降幂公式进行降次、整理为型再利用辅助角公式求出最值.【例5】求函数的最值，并求取得最值时x的值.解：∵，∴，∴∴的最小值为，此时，无最大值.

4、【例6】）求函数的值域.方法小结：求只含有，的函数的最值问题，通常方法是换元法：令()，将转化为的关系式，从而使问题转化为二次函数的最值问题.但要注意换元后变量的取值范围.[小试身手]已知：求的最大值及此时的集合．[分析]此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解.[小试身手]1.已知函数，，直线x＝t（t∈）与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点，则

5、MN

6、的最大值是多少？2.求函数的值域.3.4.求函数的值域.（Ⅳ）配方法：型。此类型可化为在区间上的最值问题.【例6】求函数（）的最值.解：∴函数的最大值为

7、，最小值为【例8】求函数（，）的最大值.解：转化为配方得：①当，即时，在sinx=1，②当时，即时，在sinx=－1，③当，即时，在时，综上：小结：对于二次型函数，都可通过换元构造二次函数，进而转化为二次函数在某个区间上的值域问题，但一定要注意新元的范围.[小试身手]1.函数的值是多少？2.求函数的最值.[分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一.3.设，用表示的最大值.解：令sinx=t,则（1）当，即在[0，1]上递增，（2）当即时，在[0，1]上先增后减，（

8、3）当即在[0，1]上递减，3.求函数在区间上的值域.（Ⅴ）数形结合:型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为再利用辅助角公式求其最值；②采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值.【例9】求函数的值域解法1：将函数变形为∴由，解得：，故值域是解法2：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx,sinx)与定点Q(2,0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为、。结合图形可知，此函数的值域是.课后作业1.函数在区间上的最小值

9、为．2.函数的最大值等于．3.函数且的值域是___________________．4.当时，函数的最小值为．1．函数的最小值等于__________．2．当时，函数的最小值是_______．3．函数的最大值为_______，最小值为________.4．函数的值域为.5．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于_________．6．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．7.已知函数的定义域为[－，0]，值域为[－5，1]，求常数、的值教学反思：三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几

10、年的高考题中经常出现.其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程