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《高二立体几何与空间向量练习题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高二、空间向量与立体几何解答题练习题1．（本题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）求二面角Q—BP—C的余弦值．．解：（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.则所以即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.（II）依题意有B（1，0，1），设是平面PBC的法向量，则因此可取设m是平面PBQ的法向量，则可取故二面角Q—BP—C的余弦值为2．（本题12分）长方体中，，，是底面对角线的交点.(Ⅰ)
2、求证：平面；(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求三棱锥的体积.（本题12分）解:(Ⅰ)证明：依题意：，且在平面外．……2分∴平面…………………………………………………3分(Ⅱ)证明：连结∵∴平面…………4分又∵在上，∴在平面上∴…………………………5分∵∴∴∴中，…………………………………6分同理：∵中，[来源:学+科+网Z+X+X+K]∴…………………………………………………………7分∴平面………………………………………………………8分(Ⅲ)解：∵平面∴所求体积……………………………………10分………………………………12分3.(本题12分)如图,在长方体
3、中,点在棱上.(1)求异面直线与所成的角；(2)若二面角的大小为,求点到面的距离.解法一:(1)连结.由是正方形知.∵平面,∴是在平面内的射影.根据三垂线定理得,则异面直线与所成的角为.…………5分(2)作,垂足为,连结,则.所以为二面角的平面角,.于是,易得,所以,又,所以.设点到平面的距离为,则由于即,因此有,即,∴.…………12分解法二:如图,分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.(1)由,得,设,又,则.∵∴,则异面直线与所成的角为.……………………5分(2)为面的法向量,设为面的法向量,则,∴.①由,得,则,即,∴②由①、②,可取,又,
4、所以点到平面的距离.……………12分4．（本小题满分12分）用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台。如图，在四棱台中，下底是边长为的正方形，上底是边长为1的正方形，侧棱⊥平面，.（Ⅰ）求证：平面；（II）求平面与平面夹角的余弦值.以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D—xyz如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）.…3分（Ⅰ）证明：设则有所以，，∴平面；………6分（II）解：设为平面的法
5、向量，于是………8分同理可以求得平面的一个法向量，………10分∴二面角的余弦值为.………12分CBAC1B1A15.（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，AB=1，，∠ABC=60.(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）求二面角A——B的余弦值。18．如图，在6.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，E是AB的中点，PC与平面ABCD所成角为．（1）求二面角P-CE-D的大小；（2）当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2．（1）设AD的中点为O，BC的中点为F，以O为原点，AD为x轴正半轴，AP为z轴正半轴，OF为y
6、轴正半轴建立空间直角坐标系，连接OC，则为PC与面AC所成的角，=，设AD=2a,则故，则，，，设平面PCE的一个法向量为。则得，又平面DCE的一个法向量），,故二面角P-CE-D为………（8分）（2）D(a,0,0),则,则点D到平面PCE的距离d=2,则，AD=………（12分）7.（本题满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且SD=AD，E是SA的中点.（1）求证：直线BA⊥平面SAD；（2）求直线SA与平面BED的夹角的正弦值.解：（1）∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AB，又AD⊥AB，∴AB⊥平
7、面SAD，……6分（2）以D为原点，分别以DA、DC、DS为轴建立空间直角坐标系，如图，设AB=2，则，，故，，……………8分设平面BED的一个法向量为，由得，取，……………………………10分设直线SA与平面BED所成角为，因为，所以，即直线SA与平面BED所成角的正弦值为……12分8．（本题满分12分）已知四棱锥的底面是边长为的正方形,底面,PFEDCBA、分别为棱、的中点．（Ⅰ）求证:平面18.（II）以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系．设可得如下点的坐标:则有因为底面所以平面的一个法向量为分设平面的一个法向量为则可得即令得所以由已知,二
8、面角的余弦值为所以得分分9．（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面,,,点是的中点．（1）求证：；（2）
