高二空间向量与立体几何02(1).doc

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1、专题2空间向量与立体几何01知识网络重难点突破知识点二求异面直线形成的角1.异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角βl1与l2所成的角θπ范围(0，π)0，2a·b

2、a·b

3、求法cosβ＝cosθ＝

4、cosβ

5、＝

6、a

7、

8、b

9、

10、a

11、

12、b

13、例5.（广东省惠州一中2019届期末）在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成角大小为()ππππA.B.C.D.6432【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).→→∴AC＝(1，1，0)，B1D＝(

14、－1，1，－1)，→→→→π∵AC·B1D＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，∴AC⊥B1D，∴AC与B1D所成的角为.2【变式训练5-1】、（四川省乐山一中2019届期末）如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________.【答案】60°【解析】以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝BC＝AA1＝2，→→则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则EF＝(0，－1，1)，BC1＝(2，0，2)，→→

15、→→21∴EF·BC1＝2，∴cos〈EF，BC1〉＝＝，∴EF和BC1所成的角为60°.2×222知识点三求直线与平面形成的角1.求直线与平面所成的角

16、a·n

17、设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝

18、cos〈a，n〉

19、＝.

20、a

21、

22、n

23、例6.（江西省新余一中2019届期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为()3356A.B.C.D.2333【答案】D【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则A

24、(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2).→→→所以AC＝(2，4，0)，AM＝(0，2，2)，CD＝(－2，0，0).→→设平面ACM的一个法向量n＝(x，y，z)，由n⊥AC，n⊥AM，→CD·n2x＋4y＝0，

25、→

26、6可得令z＝1，得n＝(2，－1，1).设所求角为α，则sinα＝

27、CD

28、

29、n

30、＝.2y＋2z＝0，3【变式训练6-1】、.（浙江省绍兴一中2019届高三质检）如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217

31、，则该二面角的大小为__________.【答案】60°→→→→【解析】∵CD＝CA＋AB＋BD，→→→→→→∴CA·BD＝

32、CA

33、·

34、BD

35、·cos〈CA，BD〉＝－24.→→1→→∴cos〈CA，BD〉＝－.又所求二面角与〈CA，BD〉互补，∴所求的二面角为60°.2知识点四求平面与平面形成的角1.求二面角的大小→→(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB，CD〉.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足

36、cosθ

37、＝

38、cos〈n1，n2〉

39、，二面角的平面角大小是向量

40、n1与n2的夹角(或其补角).【特别提醒】1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝

41、cos〈a，n〉

42、，不要误记为cosθ＝

43、cos〈a，n〉

44、.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.例7.（山东省济宁一中2019届期末）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为()1232A.B.C.D.2332【答案】B【解析】以A为

45、原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，11，0，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E2，D(0，1，0)，1→→1，0，－∴A1D＝(0，1，－1)，A1E＝2.设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，→y－z＝0，A1D·n1＝0，y＝2，则有即1∴A→1－z＝0，z＝2，1E·n1＝0，2∴n1＝(1，2，2).22∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，∴

46、cos〈n1，n2〉

47、＝＝