空间向量与立体几何(1)

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1、空间向量与立体几何(2011·江苏，22)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1DNM的大小为θ.(1)当θ＝90°时，求AM的长；(2)当cosθ＝时，求CM的长．解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设CM＝t(0≤t≤2)，则各点的坐标为A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N，M(0,1，t)，所以＝，＝(0,1，t)，＝(1,0,2)，设平面DMN的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·＝0，n1·＝0，即x1＋

2、2y1＝0，y1＋tz1＝0.令z1＝1，则x1＝2t，y1＝－t，所以n1＝(2t，－t,1)是平面DMN的一个法向量．设平面A1DN的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2·＝0，n2·＝0，即x2＋2z2＝0，x2＋2y2＝0，令z2＝1，则x2＝－2，y2＝1，所以n2＝(－2,1,1)是平面A1DN的一个法向量．(1)因为θ＝90°，所以n1·n2＝－5t＋1＝0，解得t＝，从而M，所以AM＝＝.(2)因为

3、n1

4、＝，

5、n2

6、＝，所以cos〈n1，n2〉＝＝，因为〈n1，n2〉＝θ或π－θ，

7、所以＝，解得t＝0，或t＝，所以根据图形和(1)的结论可知t＝，从而CM的长为.【应对策略】掌握平面向量相关的坐标运算，并类比到空间中．求平面的法向量是重要的基本功，有现成垂线的时候一定要利用，一般利用垂直于平面内的两条相交直线来求解法向量．法向量求解过程中一定要注意方程组求解的准确性，并使法向量的形式尽可能简单.必备知识1．异面直线所成的角设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则异面直线a，b的夹角θ满足cosθ＝.2．直线与平面所成的角设a是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则直线l与平面α所成

8、的角θ满足sinθ＝

9、cos〈a，n〉

10、＝.3．二面角的平面角设二面角αaβ的平面角为θ.(1)若a是α的方向向量，b⊂α，c⊂β，a·b＝0，a·c＝0，则a⊥b，a⊥c，故

11、cosθ

12、＝

13、cos〈b，c〉

14、＝.(2)若m，n，分别为平面α，β的法向量，则

15、cosθ

16、＝

17、cos〈m，n〉

18、＝.必备方法1．证明空间任意三点共线的方法设空间三点P，A，B(1)＝λ；(2)对空间任一点O，＝＋t；(3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．2．证明空间的四点共面的方法：设空间四点P，M，A，B，(1)＝x＋

19、y；(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．3．利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a1∥a，b1∥b，则a1与b1所成的锐角或直角叫a与b所成的角．向量求法：sinθ＝

20、cosφ

21、＝；(2)直线和平面所成的角设直线l的方向向量a，平面的法向量是u，直线与平面所成角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝

22、cosφ

23、＝；(3)二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫二面角，向量求法：n1和n

24、2是平面的两个法向量，则它们的夹角或其补角大小即为二面角平面角的大小

25、cosθ

26、＝.命题角度一　应用向量证明平行与垂直[命题要点](1)线线、线面、面面平行关系判定；(2)线线、线面、面面垂直的判定．【例1】►如图，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.[审题视点]找准建立空间直角坐标系的原点．证明　法一　由题意，AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直

27、角坐标系．设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.(1)＝，＝(－1,0,0)，∴·＝0，∴⊥.∵棱柱ADEBCF是直三棱柱，∴AB⊥平面BCF，∴是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵＝(1，－1,1)，＝，＝(1,0,0)，由n1·＝n1·＝0，得解得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0

28、,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.法二　(1)＝＋＋＝－＋＝(＋)－＋＝－－＋＝－(＋)－＋＝－－.∴向量与向量，共面，又OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)由题意知，BF，BC，BA两两垂直，∵＝，＝－，∴·＝·＝0，·＝·(－)＝－2＋2＝0.∴OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，∴OM⊥平面EFCD.又OM⊂平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.(1)要证明线面平行，只需证明向量与