空间向量与立体几何

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1、一、知识点<一>常用结论1．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转

2、化为线与形成射影的斜线垂直.5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.7.夹角公式：设a＝，b＝，则cos〈a，b〉=.8．异面直线所成角：=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）9.直线与平面所成角：(为平面的法向量).10.二面

3、角的平面角或（，为平面，的法向量）.11.空间两点间的距离公式若A，B，则=.12.异面直线间的距离：(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).1813.点到平面的距离：（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.14.三个向量和的平方公式：15.长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.116.面积射影定理.(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的).117.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体

4、的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长〈二〉温馨提示：1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．〈三〉解题思路：1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：18线面平行的判定：线面平行的性质：三垂线定理（及逆

5、定理）：线面垂直：面面垂直：182、三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）三类角的求法：①找出或作出有关的角。②证明其符合定义，并指出所求作的角。③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。二、题型与方法18【考点透视】不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考

6、点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．解答过程：解法一：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．正三棱柱中，平面平面，18平面．连结，在正方形中，分别为的中点，，．在正方形中，，平面．（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，

7、由（Ⅰ）得平面．，为二面角的平面角．在中，由等面积法可求得，又，．所以二面角的大小为．（Ⅲ）中，，．在正三棱柱中，到平面的距离为．设点到平面的距离为．由，得，．点到平面的距离为．解法二：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．18取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．，，，．平面．（Ⅱ）设平面的法向量为．，．，，令得为平面的一个法向量．由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．，．二面角的大小为．（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，．18点到平面的距离．小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求

8、点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可