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《高二数学《空间向量与立体几何》详细》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、空间向量解立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量，设（单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．二、空间向量的直角坐标运算律（1）若，，则，，，，（2）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（3）三、空间向量
2、直角坐标的数量积1、设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝规定：零向量与任一向量的数量积为0。2、模长公式3、两点间的距离公式：若，，则，或．4、夹角：．注：①是两个非零向量）；②。5、空间向量数量积的性质：①．②．③．6、运算律①；②；③四、直线的方向向量及平面的法向量1、直线的方向向量：我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量2、平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作，如果，那么向量叫做平面α的法向量。注：①若，则称直线为平面的法线
3、；②平面的法向量就是法线的方向向量。第11页共11页③给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。3、在空间求平面的法向量的方法：（1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。（2）待定系数法：建立空间直接坐标系ABCDE①设平面的法向量为②在平面内找两个不共线的向量和③建立方程组：④解方程组，取其中的一组解即可。五、证明1、证明两直线平行已知两直线和,,则存在唯一的实数使2、证明直线和平面平行（1）已知直线且三点不共线，则∥存在有序实数对使（2）已知直线和平面的法向量,则∥3、证明两个平面平行已
4、知两个不重合平面,法向量分别为,则∥4、证明两直线垂直已知直线。，则5、证明直线和平面垂直已知直线，且A、B,面的法向量为,则6、证明两个平面垂直已知两个平面,两个平面的法向量分别为,则六、计算角与距离1、求两异面直线所成的角已知两异面直线，，则异面直线所成的角为：例1.（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点。求异面直线AB与MD所成角的大小；解：作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,设与所成的角为,,与所成角的大小为第11页共11页2、求直线和平面所成的角已知
5、A,B为直线上任意两点，为平面的法向量，则和平面所成的角为:（1）当时（2）当时例2.如图3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，，侧棱AA1=2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小。解：以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立直角坐标系，设，则，，，图3∴，，，，∵点E在平面ABD上的射影是的重心G，∴平面ABD，∴，解得。∴，，∵平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量。由得，∴与平面ABD所成
6、的角为，即。评析：①因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求出的线面角应满足。②一般地，设n是平面M的法向量，AB是平面M的一条斜线，A为斜足，则AB与平面 M所成的角为：。3、求二面角（1）已知二面角，且，则二面角的平面角的大小为：（2）已知二面角分别为面的法向量，则二面角的平面角的大小与两个法向量所成的角相等或互补。即注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。(1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。(2)通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。第
7、11页共11页例3．（04高考四川卷）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M。求证：（1）CD⊥平面BDM；（2）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。分析：要证CD⊥平面BDM，只需证明直线CD与平面BDM内的两条相交直线垂直即可；要求二面角，需找出二面角的平面角或转化为两直线的夹角。考虑几何法或向量法求解。解：以C为原点建立坐标系。则则，∵A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，∴CD⊥平面BDM。（2）设
8、BD的中点为G，连结B1G，则，，∴的夹角等于所求二面角的平面角。。4、求两条异面直线的距离已知两条异面直线,是与两直线都垂直的向量,，则两条异面直线的距离例4．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（）A．B．C．D．答案选C；解析：建立如图4所示的直角坐标系，则ABCDOS图4，，，，．，．令向量，且，则，，，，．异面直
