利用导数研究函数极值.ppt

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1、利用导数研究函数的极值赤峰二中:朱明英函数y=f(x)在点x1、x2、x3、x4处的函数值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：yxOaby=f(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)例1一、函数的极值定义如果对X0附近的所有点X，都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点X0处取极

2、小值，记作y极小值=f(x0)；并把X0称为函数f(x)的一个极小植点。◆函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点已知函数y=f(x)，设X0是定义域（a,b)内任一点，abba探究1、图中有哪些极值点和最值点？2、函数极值点可以有多个吗？极大值一定比极小值大么？3、最值和极值有什么联系和区别?4、端点可能是极值点吗？练习：课本30页A、1（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，而最值是对整体而言。（2）极大值不一定比极小值大。（3）极值点不一

3、定是最值点。观察与思考：极值与导数有何关系？在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。f(x1)=0f(x2)=0f(x3)=0f(b)=0y=f(x)yxOabx1x2x3c结论：设x=x0是y=f(x)的极值点，且f(x)在x=x0是可导的，则必有f(x0)=0f(x)<0yxOx1aby=f(x)f(x)<0f(x)>0f(x)>01、如果在x0附近的左侧f’(x)>0，右侧f’(x)<0，则f(x0)是极大值；2、如果在x0附近的左侧f’(x)<0，右侧f’(x)>0，则f(x0)是极小值；已知函

4、数f(x)在点x0处是连续的，且f(x0)=0则二、判断函数极值的方法x2导数为0的点不一定是极值点；若极值点处的导数存在，则一定为0点评：可导函数在点x0取得极值的充分必要条件是且在点x0左侧和右侧，f(x)异号。注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。练习:判断下面4个命题，其中是真命题序号为。①可导函数必有极值；②函数的极值点必在定义域内；③函数的极小值一定小于极大值。（设极小值、

5、极大值都存在）；④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。②1、求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f'(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f’(x)在方程根左右的符号——如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；例2求函数的极值。x-22y′00y解：定义域为R，y′=x2-4由y′=0可得x=-2或x=2当x变化时，y′,y的变化情况如下表：因此，当x=-2时，y极大值==2

6、8/3当x=2时，y极小值=－4/3(-∞，-2）(-2，2）(2，+∞）+－+极大值28/3极小值-4/32、思考与讨论：在区间[-3，5]上，最小值分别是多少？[-3，3]上呢？4、求可导函数y=f(x)在[a,b]上的最值步骤如何？的最大值，1、求y=f(x)在开区间（a,b)内所有使f’(x）=0的点；2、计算函数y=f(x)在区间内使f’(x）=0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。练习求下列函数的极值:解:令解得列表:xf’(x)0f(x)+单调递增单调递减–所以,当时,f(x)有

7、极小值求下列函数的极值:解:解得列表:x(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)f(x)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.练习练习：下图是导函数的图象,在标记的点中,在哪一点处(1)导函数有极大值?(2)导函数有极小值?(3)函数有极大值?(4)函数有极小值?或例3求函数y=(x2-1)3+1的极值。解：定义域为R，y′=6x(x2-1)2。由y′=0可得x1=-1,x2=0，x3=1。导函数图象如下：因此，当x=0时，y极小值=0点

8、评：可导函数在点x0取得极值的充分必要条件是且在点x0左侧和右侧，f’(x)异号。练习：课本30页A2（2）-101x例4已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x=-1时取极大值7；当x=3时取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值。练习:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2