利用导数研究函数极值

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1、利用导数研究函数极值已知函数f(x)=2x3-6x2+7(1)求f(x)的单调区间,并画出其大致图象;【函数的极值】【复习与思考】(2)函数f(x)在x＝0和x＝2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?20xy一、函数的极值定义如果对X0附近的所有点X，都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点X0处取极小值，记作y极小值=f(x0)；并把X0称为函数f(x)的一个极小植点。◆函数的极大值与

2、极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点已知函数y=f(x)，设X0是定义域（a,b)内任一点，abba探究1、图中有哪些极值点和最值点？2、函数极值点可以有多个吗？极大值一定比极小值大么？3、最值和极值有什么联系和区别?4、端点可能是极值点吗？(1)极值是一个局部概念,反映了函数值在某一点附近的大小情况;(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;关于极值概念的几点说明(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。观察与思考：极值与导数有何关系？在极值点处

3、，曲线如果有切线，则切线是水平的。f(x1)=0f(x2)=0f(x3)=0f(b)=0y=f(x)yxOabx1x2x3c结论：设x=x0是y=f(x)的极值点，且f(x)在x=x0是可导的，则必有f(x0)=0f(x)<0yxOx1aby=f(x)f(x)<0f(x)>0f(x)>01、如果在x0附近的左侧f’(x)>0，右侧f’(x)<0，则f(x0)是极大值；2、如果在x0附近的左侧f’(x)<0，右侧f’(x)>0，则f(x0)是极小值；已知函数f(x)在点x0处是连续的，且f(x0)=0则二、判断函数极值的方法x2导数

4、为0的点不一定是极值点；若极值点处的导数存在，则一定为0点评：可导函数且在点x0左侧和右侧，f’(x)异号.在点x0取得极值的充分必要条件是注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为。①可导函数必有极值；②函数的极值点必在定义域内；③函数的极小值一定小于极大值。（设极小值、极大值都存在）；④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。②，例题:求函数的极值。解：令，解得。列表如下：所以

5、函数有极大值，极小值。练习:求函数的极值.所以函数没有极大值，有极小值0。(0)f=对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极值点的必要不充分条件.【求函数极值的步骤】（1）求导数；（2）解方程求得所有实数根（3）通过列表检查在方程的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值.1、可导函数的极值点概念及与导数的关系。2、求极值的方法步骤。3、极值与最值的联系与区别。4、求最值的方法步骤。5、注意：不可导函数也可能有极值点.例如函数y=

6、x

7、,它在点x=0处不可导,但x=0是函

8、数的极小值点.故函数f(x)在极值点处不一定存在导数.小结