利用导数研究函数的极值(1)

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1、选修1-13.3.2利用导数研究函数的极值一、选择题1．下列结论中，正确的是(　　)A．导数为零的点一定是极值点B．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值C．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极小值D．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极大值[答案]　B[解析]　导数为零的点不一定是极值点，“左正右负”有极大值，“左负右正”有极小值．故A，C，D项错．2．函数y＝1＋3x－x3有(　　)A．极小值－1，极

2、大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3[答案]　D[解析]　由y＝1＋3x－x3，得y′＝－3x2＋3.令y′＝0，即－3x2＋3＝0，∴x＝±1.∴当x＝1时，有ymax＝1＋3－1＝3；当x＝－1时，有ymin＝1－3＋1＝－1.3．函数y＝x3＋1的极大值是(　　)A．1B．0C．2D．不存在[答案]　D[解析]　∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，∴函数y＝x3＋1无极值．4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则

3、函数f(x)的极值是(　　)A．极大值为，极小值为0B．极大值为0，极小值为C．极大值为0，极小值为－D．极大值为－，极小值为0[答案]　A[解析]　由题意，得f(1)＝0，∴p＋q＝1①f′(1)＝3－2p－q＝0，∴2p＋q＝3②由①②得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，f＝，f(1)＝0.5．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是(　　)A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x

4、0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0[答案]　C[解析]　如：y＝

5、x

6、，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．6．函数y＝2－x2－x3的极值情况是(　　)A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．既无极大值也无极小值D．既有极大值也有极小值[答案]　D[解析]　∵y′＝－3x2－2x＝－x(3x＋2)，当x>0或x<－时，y′<0，当－0，∴当x＝－时取得极小值，当x＝0时取得极大值．7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x

7、)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]　A[解析]　由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．8．函数f(x)＝x＋的极值情况是(　　)A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，取极小值为2[答案]　D[解析]　f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x

8、＝±1，函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调增，在(－1,0)和(0,1)上单调减，∴当x＝－1时，取得极大值－2，当x＝1时，取得极小值2.9．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是(　　)A．1，－1B．1，－17C．3，－17D．9，－19[答案]　C[解析]　f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0得，x1＝－1或x2＝1，f(－3)＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，∴f(x)在区间[－3,0]上的最大值为3，最小值为－1

9、7.10．函数f(x)＝x3－3x(

10、x

11、＜1)(　　)A．有最大值，无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值[答案]　D[解析]　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.又x∈(－1,1)∴该方程无解，即函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.二、填空题11．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是________．[答案]　7[解析]　f′(x)＝3x2－6x，由f′(x)＝0得，x＝0或x＝2，在x＝0附近的左侧f′(x

12、)>0，右侧f′(x)<0，∴f(0)＝7为函数的最大值．12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下图所示，则下列说法中不正确的是________．①当x＝时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值