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1、利用导数研究函数的极值高二数学知识与技能目标：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数极值的步骤；过程与方法目标：多让学生举例说明，培养他们的辨析能力，以及培养他们分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.教学目标教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学重难点利用函数的导数来研究函数y=f(x)的单调性这个问题.其基本的步骤为:①求函数的定义域;②求函
2、数的导数f’(x);③解不等式f’(x)>0得f(x)的单调递增区间;解不等式f’(x)<0得f(x)的单调递减区间.教学目标函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。右图为函数y=2x3－6x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论:x2y0函数的极值:一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(
3、x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值.课前预习(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.请注意以下几点:(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.oaX1X2X3X4baxy(3)极大值与极小值之间无确定的大
4、小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的.下面我们利用函数的导数来研究函数的极值问题.由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有f’(x)=0.但反过来不一定.如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值
5、大,也不比它附近的点的函数值小.假设x0使f’(x)=0.那么在什么情况下x0是f(x)的极值点呢？oaX00bxy如上图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此,x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即f’(x)>0;x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即f’(x)<0.oaX0bxy同理,如上图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即f’(x)<0;在x0的右侧附近只能是增函数,即f’(x)>0.从而我们得出结论:若x0满足f’(x)=0,且在x0的两侧的
6、导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果f’(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f’(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.求函数y=f(x)的极值f(x0)，并判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(3)如果在根x0附近的左侧f’(x)>0,右侧f’(x)<0,那么,f(x0)
7、是极大值;(4)如果在根x0附近的左侧f’(x)<0,右侧f’(x)>0,那么,f(x0)是极小值.（1）求导数f’(x);（2）求方程f’(x)=0的所有实数根;如果在f’(x)=0的根x=x0的左、右侧，f’(x)的符号不变，则f(x0)不是极值.即:f’(x)=0的根不一定都是函数的极值点。由此可见，可导函数f(x)在点x0取得极值的充分必要条件是f’(x0)=0，且在x0左侧与右侧，f’(x)的符号不同。很明显，f’(x0)=0是x0为极值点的必要条件，并非充分条件。注意：如何求函数的最大（小）值呢？假设y=f(x)在闭区间
8、[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点取得。由于可导函数在区间(a，b)内的极值只可能在使f’(x)=0的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使f’
