利用导数求函数地极值

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1、实用文档利用导数求函数的极值例求下列函数的极值：1．；2．；3．分析：按照求极值的基本方法，首先从方程求出在函数定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．解：1．函数定义域为R．令，得．当或时，，∴函数在和上是增函数；当时，，∴函数在（－2，2）上是减函数．∴当时，函数有极大值，当时，函数有极小值2．函数定义域为R．令，得或．当或时，，∴函数在和上是减函数；当时，，∴函数在（0，2）上是增函数．∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值．3．函数的定义域为R．文案大全实用文档令，得．当或时，，∴函数在和上是减函数；当时，，∴函数在（－1，1

2、）上是增函数．∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意只是函数在处有极值的必要条件，如果再加之附近导数的符号相反，才能断定函数在处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．复杂函数的极值例求下列函数的极值：1．；2．分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数在

3、定义内可能取到极值的全部“可疑点”．解：1．令，解得，但也可能是极值点．当或时，，∴函数在和上是增函数；当时，，∴函数在（0，2）上是减函数．文案大全实用文档∴当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．2．∴令，得．当或时，，∴函数在和上是减函数；当或时，，∴函数在和上是增函数．∴当和时，函数有极小值0，当时，函数有极大值．说明：在确定极值时，只讨论满足的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题1中处，2中及处函数都不可导，但在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关

4、．根据函数的极值确定参数的值例已知在时取得极值，且．1．试求常数a、b、c的值；2．试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由．分析：考察函数是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为的根建立起由极值点文案大全实用文档所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c的值．解：1．解法一：．是函数的极值点，∴是方程，即的两根，由根与系数的关系，得又，∴，（3）由（1）、（2）、（3）解得．解法二：由得，（1）（2）又，∴，（3）解（1）、（2）、（3）得．2．，∴当或时，，当时，∴函数在和上是增函数，在（－1，1）上是减函数．∴当时

5、，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．说明：解题的成功要靠正确思路的选择．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识”．在求导之后，不会应用的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍．当或时，，∴函数在和上是增函数；文案大全实用文档当时，，∴函数在（－2，2）上是减函数．∴当时，函数有极大值，当时，函数有极小值2．函数定义域为R．令，得或．当或时，，∴函数在和上是减函数；当时，，∴函数在（0，2）上是增函数．∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得

6、极大值．3．函数的定义域为R．令，得．当或时，，∴函数在和上是减函数；当时，，∴函数在（－1，1）上是增函数．∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意只是函数文案大全实用文档在处有极值的必要条件，如果再加之附近导数的符号相反，才能断定函数在处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．利用导数求函数的单调区间例求下列函数的单调区间：1．；2．；3．分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，

7、也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．解：1．函数的定义域为R，令，得或．∴函数的单调递增区间为（－1，0）和；令，得或，∴函数的单调递减区间为和（0，1）．2．函数定义域为令，得．∴函数的递增区间为（0，1）；令，得，∴函数的单调递减区间为（1，2）．3．函数定义域为令，得或．∴函数的单调递增区间为和；令，得且，文案大全实用文档∴函数的单调递减区间是和．说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定