有限元方法课件 第三章 变形体虚位移原理.ppt

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1、第三章变形体虚位移原理§3–1弹性力学的基本方程及其矩阵表示§3–2数值分析方法的分类§3–3虚位移原理与最小势能原理§3–4最小势能原理及里兹法§3–5结论与讨论第三章变形体虚位移原理§3-1弹性力学的基本方程及其矩阵表示一.平衡（运动）微分方程线应变：角应变：二.小变形平面问题的几何方程在应力边界上：三.平面问题的边界条件（边界处平衡和协调条件）---表面力XY设线弹性平面问题物理方程平面应力问题：平面应变问题：平面应力：平面应变：四.线性弹性体的物理方程（本构关系）应力矩阵应变矩阵体积力矩阵表面力矩阵

2、位移矩阵弹性矩阵已知位移矩阵五.平面问题物理量的矩阵表示各向同性、线性弹性条件下：平面应力问题：平面应变问题：弹性矩阵取决于材料性质引入两个算子矩阵：微分算子矩阵方向余弦矩阵平衡方程几何方程物理方程边界条件六.有限元法分析基础——弹性力学基本方程1、平衡方程2、几何方程3、本构关系4、协调方程5、边界条件(应力,位移)位移边界条件应力边界条件七.弹性力学基本方程的矩阵表示（空间问题）位移列阵体积力列阵应力列阵应变列阵表面力列阵已知位移列阵表面外法线方向余弦矩阵微分算子列阵柔度矩阵——弹性矩阵的逆矩阵几

3、何方程本构关系协调方程应力边界条件平衡方程位移边界条件弹性力学基本方程的矩阵表示有限单元法有限元法是以变分原理为基础，将要求解的微分方程型数学模型，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后，利用分片插值将变分问题离散化为普通多元函数的极值问题，最终归结为一组多元的代数方程组，求解该方程组，即可获得问题的数值解。§3-2有限单元法基本原理基于变分原理的有限元提法有限元法是以变分原理为基础找出问题的微分方程（数学模型）——构造泛函——泛函变分——单元平衡方程——组装整体平衡方程——求解方程组——获得问题的

4、数值解力学问题变分原理力学问题变分原理虚功原理虚位移原理虚应力原理最小势能原理最小余能原理（平衡方程＋力边界条件）（几何方程＋位移边界条件）（下限解）（上限解）一、变形体虚位移时外力功计算二、变形体虚位移原理表述和证明三、一些名词含义的解释四、势能驻值原理和最小势能原理§3-3虚功原理与最小势能原理任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立δWe=δWi变形体的虚功原理几个

5、问题:1.虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是必要性命题。2.原理的证明表明:原理适用于任何(线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。3.原理可有两种应用：实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解---虚位移原理。实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问题来求解---虚力原理。最小势能原理：线性、弹性变形体的总势能可表为：由此可证明，对于一切位移变分，势能的二阶变分恒大于等于零（仅在位移变分为零时才等于零

6、）。因此势能取最小值。从势能原理证明可见，它和虚位移原理等价。都等价于平衡条件.1）前提条件虚功原理要求变形体平衡、虚位移协调，各可以是任意一个；虚位移原理给定一个受力变形体，是否平衡是不一定的，虚位移不仅协调，而且完全任意、独立。2）所得结论虚功原理得到虚功方程恒成立，是必要性命题；虚位移原理是充要条件，保证给定的受力变形体一定平衡。虚功原理与虚位移原理的区别：本部分内容结束