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1、65平面向量的线性运算及几何意义7.(2015辽宁锦州二模,文7,平面向量的线性运算及几何意义,选择题)已知向量AB与AC的夹角为120°,且
2、AB
3、=2,
4、AC
5、=3,若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为( )A.37B.13C.6D.127解析:∵AP=λAB+AC,且AP⊥BC,∴AP·BC=(λAB+AC)·(AC-AB)=AC2-λAB2+(λ-1)AB·AC=0.又向量AB与AC的夹角为120°,且
6、AB
7、=2,
8、AC
9、=3,∴AB·AC=
10、AB
11、
12、AC
13、cos120°=2×3×-
14、12=-3.∴32-λ·22+(λ-1)×(-3)=0,解得λ=127.答案:D67平面向量基本定理的应用5.(2015河南商丘二模,文5,平面向量基本定理的应用,选择题)如图,在△ABC中,已知BC=3DC,则AD=( )A.23AB+13ACB.23AB-13ACC.13AB+23ACD.13AB-23AC解析:∵BC=AC-AB,DC=AC-AD,∴由已知BC=3DC,得AC-AB=3(AC-AD),化简AD=13AB+23AC.答案:C68平面向量的坐标运算6.(2015辽宁大连二模,文6,平面向量
15、的坐标运算,选择题)在△ABC中,D为BC边的中点,若BC=(2,0),AC=(1,4),则AD=( )A.(-2,-4)B.(0,-4)C.(2,4)D.(0,4)解析:AD=AC-DC=AC-12BC=(1,4)-12(2,0)=(1,4)-(1,0)=(0,4).答案:D8.(2015宁夏银川一中二模,文8,平面向量的坐标运算,选择题)已知向量OA=(4,6),OB=(3,5),且OC⊥OA,AC∥OB,则向量OC等于( )A.-37,27B.-27,421C.37,-27D.27,-421解析:设
16、C(x,y),OC⊥OA⇒4x+6y=0,AC∥OB⇒5(x-4)-3(y-6)=0,联立解得D27,-421.答案:D70平面向量数量积的运算3.(2015辽宁锦州一模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),点P在x轴上,则AP·BP取最小值时P点坐标是( )A.(-3,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)解析:设P(a,0),向量OA=(2,2),OB=(4,1),则AP·BP=(a-2,-2)·(a-4,-1)=a2-6a+10=(a-3)2+1≤1
17、,当a=3时,取得最小值.所以P点坐标是(3,0).答案:D10.(2015辽宁沈阳一模,文10,平面向量数量积的运算,选择题)在△ABC中,若
18、AB+AC
19、=
20、AB-AC
21、,AB=2,AC=1,E,F为BC边的三等分点,则AE·AF=( )A.89B.109C.259D.269解析:若
22、AB+AC
23、=
24、AB-AC
25、,则AB2+AC2+2AB·AC=AB2+AC2-2AB·AC,即有AB·AC=0.又E,F为BC边的三等分点,则AE·AF=(AC+CE)·(AB+BF)=AC+13CB·AB+13BC=23
26、AC+13AB·13AC+23AB=29AC2+29AB2+59AB·AC=29×(1+4)+0=109.答案:B16.(2015辽宁沈阳四校联考,文16,平面向量数量积的运算,填空题)在△AOB中,G为△AOB的重心(三角形中三边上中线的交点叫重心),且∠AOB=60°.若OA·OB=6,则
27、OG
28、的最小值是 . 解析:设AB的中点为C,则点G在OC上,且OG=23OC=23·OA+OB2=13(OA+OB),∵OA·OB=
29、OA
30、·
31、OB
32、·cos60°=6,∴
33、OA
34、·
35、OB
36、=12.∴
37、OG
38、
39、=13(
40、OA+OB
41、)=13(OA+OB)2 =13OA2+OB2+2OA·OB =13
42、OA
43、2+
44、OB
45、2+12 ≥132
46、OA
47、·
48、OB
49、+12 =13×2×12+12=2,当且仅当
50、OA
51、=
52、OB
53、时,等号成立,故
54、OG
55、的最小值是2.答案:25.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文5,平面向量数量积的运算,选择题)已知平面向量a与b的夹角为120°,a=(2,0),
56、b
57、=1,则
58、a+2b
59、=( )A.2B.23C.4D.12解析:∵
60、a+2b
61、=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=
62、a
63、2
64、+4
65、a
66、
67、b
68、cos+4
69、b
70、2=22+4×2×1×cos120°+4×1=2.答案:A3.(2015河南开封二模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(a·b)·(a+b)等于( )A.20B.(-10,30)C.54D.(-8,24)解析:∵a·b=1×(-3)+2×4=5,a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6),∴(a·b)·(a
