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1、第二章函数概念与基本初等函数2.1函数及其表示12函数的值域1.(2015广西柳州一中一模,文15,函数的值域,填空题)设函数f(x)=2x+a,x>2,x+a2,x≤2,若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是 . 解析:函数f(x)=2x+a,x>2,x+a2,x≤2,当x>2时,f(x)=2x+a,在(2,+∞)上为增函数,f(x)∈(4+a,+∞);当x≤2时,f(x)=x+a2,在(-∞,2]上为增函数,f(x)∈(-∞,2+a2].若f(x)的值域为R,则(-∞,2+a2]∪(4+a,+∞)=R,则2+a2≥4+a,即a2-a-2≥0,解得a≤-
2、1或a≥2,则实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).答案:(-∞,-1]∪[2,+∞)16.(2015江西景德镇二模,文16,函数的值域,填空题)函数f(x)=log22x-log2x2,则函数f(x)在区间12,2上的值域是 . 解析:函数的定义域为(0,+∞),则f(x)=log22x-log2x2=log22x-2log2x,设t=log2x,则函数等价为y=t2-2t=(t-1)2-1.当x∈12,2,则t∈[-1,1],则-1≤y≤3,即函数的值域为[-1,3].答案:[-1,3]12.(2015广西南宁一模,文12,函数的值域,选择题)f
3、(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意的x1∈[-1,2],存在x0∈[-1,2],使g(x1)=f(x0),则a的取值范围是( ) A.0,12B.12,3C.[3,+∞)D.(0,3]解析:设f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),在[-1,2]上的值域分别为A,B,由题意可知A=[-1,3],B=[-a+2,2a+2],所以-a+2≥-1,2a+2≤3.所以a≤12.又a>0,所以04、间[a,b]上的两个函数,若对任意的x∈[a,b],都有
5、f(x)-g(x)
6、≤k(k>0),则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“k度和谐函数”,[a,b]称为“k度密切区间”.设函数f(x)=lnx与g(x)=mx-1x在1e,e上是“e度和谐函数”,则m的取值范围是 . 解析:∵函数f(x)=lnx与g(x)=mx-1x在1e,e上是“e度和谐函数”,∴对任意的x∈1e,e,都有
7、f(x)-g(x)
8、≤e,即有lnx+1x-m≤e,即m-e≤lnx+1x≤m+e.令h(x)=lnx+1x1e≤x≤e,h'(x)=1x-1x2=x-1x2当x>1时,h'
9、(x)>0,当x<1时,h'(x)<0,当x=1时,h(x)取极小值1,也为最小值,∴h(x)在1e,e上的最小值是1,最大值是e-1.∴m-e≤1且m+e≥e-1,即-1≤m≤e+1.答案:-1≤m≤1+e13函数的解析式1.(2015广西柳州一模,文16,函数的解析式,填空题)设x∈R,若函数f(x)为单调递增函数,且对任意实数x,都有f[f(x)-ex]=e+1成立,则f(2)的值为 . 解析:设t=f(x)-ex,则f(x)=ex+t,则条件f[f(x)-ex]=e+1等价为f(t)=e+1,令x=t,则f(t)=et+t=e+1,∵函数f(x)为单调
10、递增函数,∴函数为一对一函数,解得t=1.∴f(x)=ex+1.∴f(2)=e2+1.答案:e2+18.(2015江西新余二模,文8,函数的解析式,选择题)函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( )A.f(x)=x+sinxB.f(x)=cosxxC.f(x)=xcosxD.f(x)=x·x-π2·x-3π2解析:依题意函数是奇函数,排除D,函数图象过原点,排除B,图象过π2,0,显然A不正确,C正确.答案:C14分段函数1.(2015吉林省实验中学二模,文12,分段函数,选择题)已知函数f(x)=-13x+16,x∈0,12,2x3x+1,x∈
11、12,1,函数g(x)=asinπ6x-2a+2(a>0),若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是( )A.-23,1B.12,43C.43,32D.13,2解析:当x∈0,12时,y=16-13x,值域是0,16;当x∈12,1时,y=2x3x+1,y'=4x3+6x2(x+1)2>0恒成立,故为增函数,值域为16,1,则当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[0,1],g(x)=asinπ6x-2a+2(a>0),为增函数,值域是2-2a,2-3a2.因为存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(
