高中数学必修2教案：第一章 1_3_1.docx

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1、1．3　空间几何体的表面积与体积1．3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积[学习目标]　1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．[知识链接]1．棱柱的侧面形状是平行四边形；棱锥的侧面形状是三角形；棱台的侧面形状是梯形．2．圆柱、圆锥、圆台的底面形状是圆．3．三角形的面积S＝ah(其中a为底，h为高)，圆的面积S＝πr2(其中r为半径)，扇形的面积公式S＝lr(l为扇形的弧长，r为扇形的半径)．4．长方体的体积V＝abc(其中a，b，c为长、宽、高)．[

2、预习导引]1．多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．2．旋转体的表面积名称图形公式圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2续表圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)3.体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋

3、＋S)h.要点一　空间几何体的表面积例1　如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．解　以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4cm，下底半径是16cm，母线DC＝＝13(cm)．∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．规律方法　1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键．2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长

4、等构成的直角三角形(或梯形)求解．跟踪演练1　如图，已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，求它的表面积．解　先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.因为BC＝a，SD＝＝＝a.所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.因此，四面体SABC的表面积S＝4×a2＝a2.要点二　空间几何体的体积例2　如图，三棱台ABCA1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比．解　设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1ABC＝S△ABC·h＝Sh，VCA1B1C1＝S△A1B1C

5、1·h＝Sh.又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，∴VBA1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝Sh－－＝Sh，∴体积比为1∶2∶4.规律方法　求几何体体积的常用方法跟踪演练2　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.解　在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝a，∵VA1－ABD＝VA－A1BD，∴×a2·a＝××a×·a·d.∴d＝a.∴A到平面A1BD的距离为a.要点三　与三视图有关的表面积、体积问题例3　一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该

6、四棱锥的侧面积和体积分别是(　　)A．4，8B．4，C．4(＋1)，D．8,8答案　B解析　由正视图得出四棱锥的底面边长与高，进而求出侧面积与体积．由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，∴V＝×22×2＝.四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为，∴S侧＝4××2×＝4.规律方法　1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．跟踪演练3　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__

7、______．答案　16π－16解析　由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.1．已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是2，则这个长方体的体积是(　　)A．6B．12C．24D．48答案　D解析　设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为2，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2.∴三条棱长分别为2、