高中数学必修2教案：第一章 1_3_2.docx

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1、1．3.2　球的体积和表面积[学习目标]　1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．[知识链接]1．长、宽、高分别为a、b、c的长方体的表面积S＝2(ab＋bc＋ac)，体积V＝abc.2．棱长为a的正方体的表面积S＝6a2，体积V＝a3.3．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆柱侧面积S侧＝2πrh，表面积S＝2πrh＋2πr2，体积V＝πr2h.4．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆锥侧面积S侧＝πrl，表面积S＝πr2＋πrl，体积V＝πr2h.[预习导引]球的体积公式与表面积公式(1)球的体积公式V＝πR3(

2、其中R为球的半径)．(2)球的表面积公式S＝4πR2.要点一　球的表面积和体积例1　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为π，求它的表面积．解　(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的体积V＝πR3＝π·(4)3＝π.(2)设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.规律方法　1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积．2．已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径．跟踪演练1　一个球的表面积是16π，则它的体积是(　　)A．64πB.C．32πD.π答案　D解析　

3、设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2，体积V＝πR3＝π.要点二　球的截面问题例2　平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)A.πB．4πC．4πD．6π答案　B解析　如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1.∴OM＝＝.即球的半径为.∴V＝π()3＝4π.规律方法　有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．跟踪演练2　已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．答案　1或7解

4、析　若两个平行截面在球心同侧，如图(1)，则两个截面间的距离为－＝1；若两个平行截面在球心异侧，如图(2)，则两个截面间的距离为＋＝7.要点三　球的组合体与三视图例3　某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．解　由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为S＝×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.该几何体的体积为V＝23＋×π×13＝8＋.规律方法　1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．2．求解表面积和体积时要避免重叠和交叉．跟踪演练3　已知

5、某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．答案　12π解析　由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为2，若球半径为R，则2R＝2，∴R＝.∴S球表＝4πR2＝4π×3＝12π.1．直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)A．36π，144πB．36π，36πC．144π，36πD．144π，144π答案　B解析　球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝π·33＝36π.2．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的(　　)A．2

6、倍B．4倍C．8倍D．16倍答案　C解析　设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍．3．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________．答案　解析　设大球的半径为R，则有πR3＝2×π×13，R3＝2，∴R＝.4．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．答案　14π解析　长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_____

7、___．答案　3π解析　由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即×4π＋π＝3π.1.球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据，在球的轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形，其量值关系是解决问题的主要方法．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．一、基础达标1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是(　　)A.πB.C．4πD．32π答案　C解析　由题意可知，6a2＝24，