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《新高三一轮复习数学（文）北师大版衔接教材·假期作业22 不等式选讲（解析版）.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、考点22不等式选讲1．已知函数f（x）＝
2、x+t
3、+
4、x﹣2t
5、，t∈R．[来源:Z+xx+k.Com]（1）若t＝1，求不等式f（x）≤9﹣x2的解集；（2）已知a+b＝1，若对任意x∈R，都存在a＞0，b＞0使得f(x)=4a2+bab，求实数t的取值范围．【解析】（1）当t＝1时，f（x）＝
6、x+1
7、+
8、x﹣2
9、=2x-1(x≥2)3(-1≤x＜2)1-2x(x＜-1)，∵f（x）≤9﹣x2，∴当x≥2时，2x﹣1≤9﹣x2，∴2≤x≤11-1；当﹣1≤x＜2时，3≤9﹣x2，∴﹣1≤x＜2；当x＜﹣1时，1﹣2x≤9﹣x2，∴﹣2≤x＜﹣1，∴不等式的解集
10、为[-2，11-1]．（2）f（x）＝
11、x+1
12、+
13、x﹣2
14、≥
15、（x+t）﹣（x﹣2t）
16、＝3
17、t
18、，∴f（x）min＝3
19、t
20、．∵f(x)=4a2+bab，a+b=1，∴4ab+1a=4ab+a+ba≥1+24ab⋅ba=5，当且仅当2a＝b，即a=13，b=23时等号成立，∴4a2+bab∈[5，+∞)，∵对任意x∈R，都存在a＞0，b＞0使得f(x)=4a2+bab，∴5≤3
21、t
22、，∴t≥53或t≤-53，∴t的取值范围为(-∞，-53]∪[53，+∞)．2．已知函数f（x）＝
23、x﹣1
24、+
25、x﹣2
26、．（1）求不等式f（x）＜3的解集I；（2）当a，b，c∈I
27、时，求证：11a+13-b+11b+13-c+11c+13-a≤94．【解析】（1）
28、x﹣1
29、+
30、x﹣2
31、＜3等价为：x≥2x-1+x-2＜3或1＜x＜2x-1+2-x＜3或x≤11-x+2-x＜3，解得2≤x＜3或1＜x＜2或0＜x≤1，则解集为（0，3）；（2）证明：当a，b，c∈（0，3），可得3﹣a，3﹣b，3﹣c＞0，可令T=11a+13-b+11b+13-c+11c+13-a，则T≤a(3-b)2+b(3-c)2+c(3-a)2，可得T≤a+(3-b)4+b+(3-c)4+c+(3-a)4=94，当且仅当a＝b＝c=32时，取得等号．故11a+13-b
32、+11b+13-c+11c+13-a≤94．3．已知函数f（x）＝
33、2x﹣1
34、﹣
35、2x+3
36、的最大值为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）已知a，b，c为实数，且a＞b＞c．求证：1a-b+1b-c≥Ma-c．【解析】（Ⅰ）∵f（x）＝
37、2x﹣1
38、﹣
39、2x+3
40、≤
41、（2x﹣1）﹣（2x+3）
42、＝4，当且仅当(2x-1)(2x+3)≥0
43、2x-1
44、＞
45、2x+3
46、，即x≤-32时，等号成立．∴函数f（x）的最大值M等于4．（Ⅱ）知名：已知M＝4且a＞b＞c，要证1a-b+1b-c≥4a-c，只需证(a-c)(1a-b+1b-c)≥4．∵a＞b＞c，∴a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞
47、0，∴(a-c)(1a-b+1b-c)=(a-b+b-c)(1a-b+1b-c)=2+a-bb-c+b-ca-b≥2+2a-bb-c⋅b-ca-b=4，故1a-b+1b-c≥4a-c，当且仅当（a﹣b）2＝（b﹣c）2时等号成立，∴1a-b+1b-c≥Ma-c．4．已知函数f（x）＝
48、2x﹣1
49、﹣
50、x+2
51、，g（x）＝2
52、x﹣m
53、+
54、2x+1
55、．（1）求不等式f（x）＜2的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）+g（x2）＝0，求m的取值范围．【解析】（1）f（x）=-x+3，x≤-2-3x-1，-2＜x＜12x-3，x≥12，故f（x）＜2⇔-x+3＜
56、2x≤-2或-3x-1＜2-2＜x＜12或x-3＜2x≥12，解得：﹣1＜x＜12或12≤x＜5，∴f（x）＜2的解集为{x
57、﹣1＜x＜5}．（2）由（1）可知f（x）在（﹣∞，12）上单调递减，在[12，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（12）=-52，故y＝f（x）的值域为[-52，+∞）．∵2
58、x﹣m
59、+
60、2x+1
61、＝
62、2x﹣2m
63、+
64、2x+1
65、≥
66、2x﹣2m﹣（2x+1）
67、＝
68、2m+1
69、，故y＝g（x）的值域为[
70、2m+1
71、，+∞），设A＝[-52，+∞），B＝（﹣∞，﹣
72、2m+1
73、），若存在x1，x2∈R，使得f（x1）+g（x2）＝0，则A∩B
74、≠∅，∴﹣
75、2m+1
76、≥-52，解得：-74≤m≤34．即m的取值范围是[-74，34]．5．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝
77、x+a
78、+
79、x﹣b
80、+c．（1）当a＝1，b＝2时，求不等式f（x）＞5+c的解集；（2）当f（x）的最小值为6时，证明：a2+b2c+a2+c2b+b2+c2a≥12．【解析】（1）当a＝1，b＝2时，f（x）＝
81、x+1
82、+
83、x﹣2
84、+c=2x-1+c，x＞23+c，-1≤x≤2-2x+1+c，x＜-1．∵f（x）＞5+c，∴2x-1+c＞5+cx＞2或3+c＞5+c-1≤x≤2或-2x+1+c＞5+cx＜-1，∴x＞3或x∈
85、∅或x＜﹣
