新高三一轮复习数学（文）北师大版衔接教材·假期作业13 立体几何综合（解析版）.docx

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1、考点13立体几何综合1．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，BC∥AD，AD＝2BC＝2CD＝2，O是AD的中点，PO⊥平面ABCD，过AB的平面交棱PC于点E（异于点C，P两点），交PO于F．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）若F是PO中点，PA＝2，求三棱锥E﹣ACD的体积．【解析】（1）连接OC，由AO＝OD＝BC，且AO∥BC，可得四边形ABCO为平行四边形，则AB∥OC，AB⊄平面PCO，CO⊂平面PCO，可得AB∥平面PCO，又AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PCO＝EF，则EF∥AB，又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，可得EF∥平面ABC

2、D；（2）由PO⊥平面ABCD，F是PO中点，PA＝2，可得F到平面ABCD的距离为1，而EF∥平面ABCD，可得E到平面ACD的距离为1，由底面ABCD为等腰梯形，四边形ABCO为平行四边形，可得OC＝AB＝CD＝1，△OCD为等边三角形，且C到OD的距离为32，则△ACD的面积为S=12×2×32=32，则三棱锥E﹣ACD的体积为13×32×2=33．2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝PC，E，F分别是PA，PC的中点．求证：（1）AC∥平面BEF；（2）PA⊥平面BCE．【解析】（1）∵E，F分别是PA，PC的中点，∴EF∥AC，∵EF⊂平面

3、BEF，AC⊄平面BEF，∴AC∥平面BEF．（2）∵PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PC⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC，∵AC＝PC，E是PA中点，∴CE⊥PA，∵CE∩BC＝C，∴PA⊥平面BCE．3．如图，四面体ABCD被一平面所截，平面与四条棱AB，AC，CD，BD分别相交于E，F，G，H四点，且截面EFGH是一个平行四边形，AD⊥平面BCD，BC⊥CD．求证：[来源:学科网]（1）EF∥BC；（2）EF⊥平面ACD．【解析】（1）因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG，又EF⊄平面BCD，HG⊂平面

4、BCD，所以EF∥平面BCD，又EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BCD＝BC，所以EF∥BC．（2）因为AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以AD⊥BC，由（1）知EF∥BC，所以EF⊥AD．因为BC⊥CD，所以EF⊥CD．又AD∩CD＝D，AD、CD⊂平面ACD，所以EF⊥平面ACD．4．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AB⊥AC，E，F分别是棱AB，BC的中点．求证：（1）A1C1∥平面B1EF；（2）AC⊥B1E．【解析】（1）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC的中点．∴EF∥AC，∵AC∥A1C1，∴EF∥A1

5、C1，∵A1C1⊄平面B1EF，EF⊂平面B1EF，∴A1C1∥平面B1EF．（2）∵侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC＝AB，AB⊥AC，∴AC⊥面ABB1A1，∵B1E⊂面ABB1A1，∴AC⊥B1E．5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC＝CD＝2，AD＝AP＝1，∠BCD＝90°，△PBC为等边三角形，M是棱PC上一点．（1）证明：PA⊥BC；（2）若DM∥平面PAB，求三棱锥B﹣MCD的体积．【解析】（1）取BC中点为E，连结AE，PE．∵△PBC为等边三角形，∴PE⊥BC，∵BC＝2AD，∴AD＝EC，又∵AD∥BC，∴四边形AECD为

6、平行四边形，∵∠BCD＝90°，∴四边形AECD为矩形，即AE⊥BC，∵PE∩AE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，∴BC⊥平面PAE．∵PA⊂平面PAE，∴PA⊥BC；（2）取PC，PB的中点分别为M，N，连接DM，MN，AN，∵M，N分别为PC，PB的中点，∴MN为△PBC的中位线，则MN∥BC且MN=12BC，又∵AD∥BC且AD=12BC，∴AD∥MN且AD＝MN，得四边形ANMD为平行四边形，∴DM∥AN，又∵AN⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，∴DM∥平面PAB，∴当M是棱PC中点时DM∥平面PAB．由（1）知BC⊥平面PAE，∵BC⊂平面ABCD，∴平面PAE⊥平面AB

7、CD，作PO⊥AE于点O，∵平面PAE∩平面ABCD＝AE，∴PO⊥平面ABCD，∵△PBC为等边三角形，且BC＝2，点E为BC的中点，∴PE=3，在△PAE中，∵PA＝1，AE＝CD＝2，PE=3，∴AE2＝PA2+PE2，∴PA⊥PE，得

8、PO

9、•

10、AE

11、＝

12、PA

13、•

14、PE

15、，即

16、PO

17、=32，∴M到平面ABCD的距离为d=34．∴VB-MCD=VM-BCD=13S△BCD⋅d=13×12×2×2×34=36．6．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点