新高三一轮复习数学（文）北师大版衔接教材·假期作业16 圆锥曲线综合（解析版）.docx

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1、考点16圆锥曲线综合1．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，一个顶点为M（0，1），直线l交椭圆于A，B两点，且MA⊥MB．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线l过定点．【解析】（1）由题意可得e=ca=32，b＝1，而a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程：x24+y2＝1；（2）证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx+t，且t≠1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程：y=kx+tx24+y2=1，整理可得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，△＝64k2t2﹣4（1+4

2、k2）（4t2﹣4）＞0，即t2＜1+4k2，x1+x2=-8kt1+4k2，x1x2=4t2-41+4k2，因为MA⊥MB，所以MA→⋅MB→=0，即（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）＝0，x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1＝0，所以x1x2+（kx1+t）（kx2+t）﹣k（x1+x2）﹣2t+1＝0，即（1+k2）•4t2-41+4k2+k（t﹣1）⋅-8kt1+4k2+t2﹣2t+1＝0，整理可得5t2﹣2t﹣3＝0，解得：t=-35或t＝1（舍），综上所述：可以得证直线恒过（0，-35）．2．已知点M（0，﹣2），点P在直线y=116x2+2上运动，点Q

3、满足MQ→=12MP→，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设D（0，3），E（0，﹣3），过点D的直线交曲线C于A，B两个不同的点，求证：∠AEB＝2∠AED．【解析】（1）设Q（x，y），P（x0，y0），由MQ→=12MP→，得(x，y+2)=12(x0，y0+2)，所以x=12x0y+2=12(y0+2)，即x0=2xy0=2y+2，因为点P在曲线y=116x2+2上，所以y0=116x02+2，即2y+2=116⋅(2x)2+2，整理得x2＝8y．所以曲线C的方程为x2＝8y．（2）证明：直线AB的斜率显然存在，设其方程为y＝kx+3，A（x1，y

4、1），B（x2，y2）．联立y=kx+3x2=8y，得x2﹣8kx﹣24＝0，可知△＝64k2+96＞0，x1+x2＝8k，x1•x2＝﹣24，直线AE，BE的斜率之和为kAE+kBE=y1+3x1+y2+3x2=kx1+6x1+kx2+6x2=2kx1x2+6(x1+x2)x1x2=-48k+48k-24=0．所以直线AB和BE的倾斜角互补，即∠AED＝∠BED．故∠AEB＝2∠AED．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右准线为直线x＝4，左顶点为A，右焦点为F．已知斜率为2的直线l经过点F，与椭圆E相交于B，C两点，且O

5、到直线l的距离为255．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过O的直线m：y＝kx与直线AB，AC分别相交于M，N两点，且OM＝ON，求k的值．【解析】（1）设椭圆E的焦距为2c，则直线l的方程为y＝2（x﹣c），即．因为O到直线l的距离为255，d=

6、2×0-0-2c

7、22+12=2c5，所以2c5=255，则c＝1，因为椭圆E的右准线的为直线x＝4，则a2c=4，所以a2＝4，b2＝a2﹣c2＝3，故椭圆E的标准方程为x24+y23=1；（2）由（1）知l：y＝2（x﹣1），设B（x1，y1），C（x2，y2）．由y=2(x-1)，3x2+4y2=12得19x2﹣32x

8、+4＝0，△=322-4×19×4＞0，x1+x2=3219，x1x2=419.，由A（﹣2，0），B（x1，y1）可知AB：y=y1x1+2(x+2)，由y=kxy=y1x1+2(x+2)得xM=2y1k(x1+2)-y1，同理xN=2y2k(x2+2)-y2，因为OM＝ON，所以1+k2

9、xM

10、=1+k2

11、xN

12、，由图可知xM+xN＝0，所以2y1[k（x2+2）﹣y2]+2y2[k（x1+2）﹣y1]＝0，所以k=4(x1-1)(x2-1)(x1-1)(x2+2)+(x2-1)(x1+2)=4[x1x2-(x1+x2)+1]2x1x2+(x1+x2)-4=4[419

13、-3219+1]2×419+3219-4=4(4-32+19)8+32-4×19=1．所以k的值为1．[来源:Z*xx*k.Com]4．已知离心率为22的椭圆ω：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)的短轴的两个端点分别为B1，B2，P为椭圆ω上异于B1，B2的动点，且△PB1B2的面积最大值为22．（Ⅰ）求椭圆ω的方程；（Ⅱ）射线y=2x(x≥0)与椭圆ω交于点A，过点A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C，求△ABC的面积的最大值．【解析】（Ⅰ）由题意可得e=ca=22，且122b⋅a=22，a2＝