计算方法 解线性方程组的迭代解法课件.ppt

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1、数值分析——第3章解线性方程组的迭代解法解非线性方程：f(x)=0x=(x)令xk+1=(xk)，若xk,则对于线性方程组Ax=b.考虑等价方程组x=Bx+f,为此构造序列：x(k+1)=Bx(k)+f——向量的迭代公式.要考虑向量列的收敛性，误差，向量间的距离.考虑距离3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数回顾：Rn中向量的范数：性质：①x:

2、

3、x

4、

5、0,且

6、

7、x

8、

9、=0x=0②kR,x:

10、

11、kx

12、

13、=

14、k

15、

16、

17、x

18、

19、③x,y:

20、

21、x+y

22、

23、

24、

25、x

26、

27、+

28、

29、y

30、

31、3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数1.向量范数【定义3-1】设V为线性空间，V上的

32、实值函数N(x)=

33、

34、x

35、

36、满足：①正定性：xV:

37、

38、x

39、

40、0,且

41、

42、x

43、

44、=0x=0②正齐性：kR,xV:

45、

46、kx

47、

48、=

49、k

50、

51、

52、x

53、

54、③三角不等式：x,yV:

55、

56、x+y

57、

58、

59、

60、x

61、

62、+

63、

64、y

65、

66、则称N(x)=

67、

68、x

69、

70、为V上向量x的范数.3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数性质：①若x0,②

71、

72、–x

73、

74、=

75、

76、x

77、

78、③

79、

80、

81、x

82、

83、–

84、

85、y

86、

87、

88、

89、

90、x–y

91、

92、3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数线性空间可以定义各种范数.其中最常用的有：x=(x1,x2,…,xn)Rn(Cn)①欧式范数：——又称为2-范数②最大模范数：——又称为-范数③绝对

93、值范数：——又称为1-范数④p范数：3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数注：①可以证明上述定义均满足向量的范数定义.②2-范数和1-范数都是p-范数的特例.③-范数也是p-范数的特例.(∵令p，有

94、

95、x

96、

97、p

98、

99、x

100、

101、).3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数【例3-3】视mn矩阵为mn维向量,Amn:——称为A的F范数.3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数2.矩阵范数——只考虑Rn中的方阵【定义3-2】若Ann.对应一个实数

102、

103、A

104、

105、，满足：①

106、

107、A

108、

109、0,且

110、

111、A

112、

113、=0A=0②

114、

115、kA

116、

117、=

118、k

119、

120、

121、A

122、

123、③

124、

125、A+B

126、

127、

128、

129、A

130、

131、+

132、

133、

134、B

135、

136、④

137、

138、AB

139、

140、

141、

142、A

143、

144、

145、

146、B

147、

148、则称

149、

150、A

151、

152、为方阵的范数——矩阵范数.例如为矩阵范数.3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数2.矩阵范数——只考虑Rn中的方阵注：矩阵理化及运算常要考虑矩阵与向量的乘积，希望范数

153、

154、Ax

155、

156、

157、

158、A

159、

160、

161、

162、x

163、

164、.【定义3-3】设

165、

166、

167、

168、为向量范数，

169、

170、

171、

172、M为矩阵范数.若ARnn，xRn

173、

174、Ax

175、

176、

177、

178、A

179、

180、M

181、

182、x

183、

184、.则称

185、

186、A

187、

188、M为与向量范数

189、

190、

191、

192、相容的矩阵范数.注：

193、

194、A

195、

196、F与

197、

198、

199、

200、1不相容，如3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数2.矩阵范数——只考虑Rn中的方阵【定义3-4】设ARn

201、n，

202、

203、

204、

205、为向量范数.称为矩阵A的算子范数.(诱导范数).注：①②可以证明算子范数满足矩阵范数的4个条件.故为矩阵范数.③矩阵范数不一定都是算子范数，如F-范数.3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数2.矩阵范数——只考虑Rn中的方阵④算子范数与向量范数相容.(∵)3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数2.矩阵范数——只考虑Rn中的方阵常见的算子范数有：①②③——2范数.其中max(ATA)为矩阵ATA的绝对值最大特征值.行范数(每行相加,取最大)列范数(每列相加,取最大)3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数【例3-7】设则

206、

207、A

208、

209、1=max{2,5,2}=5(

210、列范数)

211、

212、A

213、

214、=max{3,4,2}=43–132+38–25=0,3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数【例3-7】设则

215、

216、A

217、

218、1=max{2,5,2}=5(列范数)

219、

220、A

221、

222、=max{3,4,2}=41=9.1428，2=2.9211，3=0.9331.即注：

223、

224、A

225、

226、2不易计算但有用.3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数【定义3-5】设i(i=1,2,…,n)为ARnn的n个特征值,称(1.2)为A的谱半径.注：(A)

227、

228、A

229、

230、p(1.3)(∵Ax=x(x0),则

231、

232、

233、

234、x

235、

236、p=

237、

238、x

239、

240、=

241、

242、Ax

243、

244、p

245、

246、A

247、

248、p

249、

250、x

251、

252、

253、

254、

255、

256、

257、

258、

259、A

260、

261、p(A)=max

262、

263、

264、

265、A

266、

267、p——用来估计特征值的上界).不超过任何一种矩阵算子范数3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数【定理3-1】若

268、

269、A

270、

271、<1，则I+A可逆.且证明：①∵

272、

273、A

274、

275、<1，∴(A)<11不是A的特征值.故I+A可逆.3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数【定理3-1】若

276、

277、A

278、

279、<1，则I+A可逆.且证明：②令D=(I+A)-1，则1=

280、

281、I

282、

283、=

284、

285、(I+A)D

286、

287、=

288、

289、D+AD

290、

291、

292、

293、D

294、

295、–

296、

297、AD

298、