第五章 解线性方程组的迭代解法ppt课件.ppt

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1、解线性方程组的迭代法直接法:它是一类精确方法,即若不考虑计算过程中的舍入误差，那么通过有限步运算可以获得方程解的精确结果迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大、程序复杂等不足。迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单、编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快，故能有效地求解一些高阶方程组。一.简单迭代法1.迭代格式的建立考虑(矩阵B不唯一！)对应写出：产生向量序列若收敛,记迭代法

2、的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。则于(5.1)两端取极限有：上式说明：是解向量,从而当k充分大时注意:迭代矩阵B不唯一,影响收敛性。解向量上述建立的方法称为简单迭代法,B叫迭代矩阵。2.收敛性定义5.1称为矩阵B的谱半径。定理5.1简单迭代法经典迭代法有：迭代法、迭代法、逐次超松弛（SOR）迭代法等。我们将矩阵分解为其中、分别为严格下三角阵和严格上三角阵二、Jacobi迭代方法将化为等价形式若所有，则上式可写为分量形式（*）定义迭代法为：（**）其中Jacobi迭代矩阵：(**)式可写为分量形式方

3、法（*1）称为Jacobi迭代方法.例求的Jacobi迭代格式解：（*1）例设有方程组(其中　　　)Ax=b,即作等价变形一般地，我们有----------Jacobi迭代法（分量形式）于是有迭代公式(k=0,1,2,…)矩阵形式为：雅可比(Jacobi)迭代法例子Jacobi迭代法的计算过程如下：三、Gauss-Seidel迭代方法利用（*），定义（*2）这样在计算新分量时，利用了新值例求方程组的Gauss—Seidel迭代格式记其中分别为的严格下、上三角形部分元素构成的三角阵.Gauss-Seidel方法的矩阵形式为或者这说明Gauss-S

4、eidel方法的迭代矩阵为从而有定理5.2Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为高斯—塞德尔迭代法举例：例：给出方程组其中问:分别利用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法是否收敛.解：对而即所以，对Jacobi方法收敛，G-S方法发散同理，对于其中即得而则所以，对Jacobi方法发散，G-S方法收敛.说明，Jacobi方法和G-S方法的收敛条件大多数是互不包含的.Gauss-Seidel迭代法的计算过程如下例用Gauss-Seidel迭代法求解方程组解：取初始向量,要求时迭代终止。Gauss-Seidel迭代格式为:计算

5、结果可列表如下四、SOR方法超松弛方法(SOR)迭代格式如下：其矩阵形式：其中，SOR法的迭代矩阵为：称为松弛因子，即为方法.例求方程组的SOR迭代格式。解SOR方法收敛的充分必要条件：SOR方法收敛定理对所有的都成立，从而当取实数时，SOR方法收敛的必要条件是：证明：略注：松弛因子不能取区间之外的值,当称为超松弛，当称为低松弛。松弛法计算过程如下本讲小结迭代解法的特点是，对于一个给定的离散代数系统，首先假设一个初始解，然后按一定的算法公式进行迭代。在每次迭代过程中对解的误差进行检查，并通过增加迭代次数不断降低解的误差，直到满足解的精度要求，并

6、输出最后的解答。这类方法除上述所讲的Jacobi、Gauss-Seidel,超松弛迭代（SOR）外,还包括其他常用的迭代方法，如共轭梯度法（CG），也包括现代计算方法中先进的迭代方法，如预处理共轭梯度法（PCG），多重网格法（Multigridmethod）等。课堂练习写出求解下列方程组的Jacobi和Gauss-Seidel方法的迭代格式，并分析这些格式的收敛性。