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1、第3章线性方程组迭代解法Iterative11TechniquesforSolvingLinearSystemsEvaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.(2.1)直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解，解线性方程组还有另一种解法，称为迭代法迭代法：不是用有限步运算求精确解，通过迭代产生近似解逼近精确解基本思想是将线性方程组AX＝B化为X＝BX+F,再由此构造一个向量序列{X
2、(k)}X(k+1)=BX(k)+F若{X(k)}收敛在某个极限向量X*，则可得X*就是(2.1)式的准确解Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.线性方程组的迭代法主要有Jocobi迭代法、GaussSeidel迭代法和超松弛(SOR)迭代法Jacobi迭代和Seidel迭代由于收敛速度较慢，已经越来越不适应当前信息时代人们对计算速度和精度的要求，所以在实际应用中使用的并不多
3、。但是，他们体现了迭代法的最基本的思想，是学习其它迭代法的基础如何构造迭代序列{X(n)}?{X(n)}在什么条件下收敛?收敛速率如何?误差估计.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.若在求解过程中X(k)X*(k)，由X(k+1)=(X(k))产生的迭代X(k)向X*的逼近，在数次迭代求解之后，由于机器跳动产生的X(k)值误差或是有效数字产生的舍入误差，都会在第k+
4、1次迭代计算中自动弥补过来或逐步纠正过来。因此，在迭代求解过程中产生的各种误差是可以忽略的，即迭代求解无累积误差，实际上，X(k)只是解的一个近似，机器的舍入误差并不改变它的性质。迭代过程中经常要遇到向量范数，矩阵范数以及序列极限的概念。Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.3.1向量和矩阵的范数NormsofVectorsandMatrices数值分析中,经常要用向量和矩阵
5、,为了应用的需要(误差分析),引入衡量向量和矩阵大小的度量——范数.对于实数x∈R,我们定义了绝对值,满足
6、x
7、≥0非负性
8、αx
9、=
10、α
11、·
12、x
13、齐次性
14、x+y
15、≤
16、x
17、+
18、y
19、三角不等式类似地,定义向量范数Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.Def3.1在实n维线性空间Rn中定义一个映射,它使任意X∈Rn有一个非负实数与之对应,记为
20、
21、X
22、
23、,且该映射满足:正定性任意X∈
24、Rn,
25、
26、X
27、
28、≥0,ifandonlyifX=0时,
29、
30、X
31、
32、=0齐次性任意X∈Rn,λ∈R,有
33、
34、λX
35、
36、=
37、λ
38、·
39、
40、X
41、
42、三角不等式任意X,Y∈Rn,有
43、
44、X+Y
45、
46、≤
47、
48、X
49、
50、+
51、
52、Y
53、
54、则称该映射在Rn中定义了一个向量范数.注:Rn中的范数不唯一.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.常用的向量范数有三种:设X=(x1,x2,…,xn)T∈Rn.则Evaluati
55、ononly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.注:(1)用范数的定义可验证上述皆为向量范数(2)p=1,2,
56、
57、X
58、
59、p即为
60、
61、X
62、
63、1,
64、
65、X
66、
67、2.(3)任意x∈Rn:Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.定理3.2设
68、
69、•
70、
71、α和
72、
73、
74、•
75、
76、β是Rn上任意两种范数，则存在正常数C1和C2，使得对一切X∈Rn有C1
77、
78、X
79、
80、α
81、
82、X
83、
84、βC2
85、
86、X
87、
88、α注:Rn中范数的等价性表明,虽范数值不同,但考虑到向量序列收敛性时,却有明显的一致
