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1、第3章线性方程组的迭代解法3.1实验目的理解线性方程组计算机解法中的迭代解法的求解过程和特点，学习科学计算的方法和简单的编程技术。3.2 概念与结论1. n阶线性方程组如果未知量的个数为n,而且关于这些未知量x1,x2,…,xn的幂次都是一次的(线性的)那末,n个方程a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1┆┆┆(1)an1x1+an2x2+…+annxn=bn构成一个含n个未知量的线性方程组,称为n阶线性方程组。其中,系数a11,…,a1n,a21,…,a2n,…,an1,…,ann和b1,…,bn都是给定的常数。方程组(1)也常用矩阵的形式表示,写为Ax=b其中,A是由
2、系数按次序排列构成的一个n阶矩阵,称为方程组的系数矩阵,x和b都是n维向量,b称为方程组的右端向量。2.n阶线性方程组的解使方程组(1)中每一个方程都成立的一组数x1*,x2*,…,xn*称为式(1)的解,把它记为向量的形式,称为解向量.3.向量范数的三种常用范数4．矩阵的四种常用范数5.谱半径设n´n阶矩阵A的特征值为li(i=1,2,3……n),则称r(A)=MAX
3、li
4、1£i£n为矩阵A的谱半径.矩阵范数与谱半径之间的关系为:r(A)£
5、
6、A
7、
8、6.严格(行)对角占优阵A如果矩阵A=(aij)满足n
9、aii
10、>S
11、aij
12、i=1,2,……n,j=1,j¹i则称方阵A是严格(行
13、)对角占优的.7.收敛定理对任意初始向量x(0)及任意右端向量g，由迭代x(k+1)=Bx(k)+g产生的迭代向量序列{x(k)}收敛的充要条件是谱半径r（B）<18.收敛判别条件判别条件1：若
14、
15、B
16、
17、<1,则迭代x(k+1)=Bx(k)+g对任何初始向量x(0)都收敛.判别条件2：如果A为严格对角占优阵，则其Jacobi迭代和Seidel迭代对任何初始向量x(0)都收敛。判别条件3：如果A为对称正定阵，则其Seidel迭代对任何初始向量x(0)都收敛。9.迭代法的误差估计若
18、
19、B
20、
21、<1，则对迭代格式x(k+1)=Bx(k)+g 有 3.3程序中Mathematica语句解释a
22、*matrix数a与矩阵matrix相乘matrix1+matrix2矩阵matrix1和矩阵matrix2相加（注意矩阵的大小相同）matrix1.matrix2矩阵matrix1和矩阵matrix2相乘(注意矩阵乘法的规则)Transpose[matrix]求矩阵matrix转置Inverse[matrix]求矩阵(方阵)matrix的逆DiagonalMatrix[list]使用列表list中的元素生成一个对角矩阵.IdentityMatrix[n]生成n阶单位矩阵Max[x]求向量x中元素的最大值3.4方法、程序、实验解线性方程组的迭代法是将线性方程组Ax=b化为等价线性方程
23、组x=Bx+f再由矩阵迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f构造向量序列{x(k)}来求线性方程组解的。如果得出的向量序列{x(k)}收敛至某个向量x*，则可得该向量x*就是所求方程组Ax=b的准确解.线性方程组的迭代法主要有Jocobi迭代法、Seidel迭代法和超松弛(Sor)迭代法。1.Jocobi迭代法1)Jocobi迭代法的构造过程假设aii¹0，依次在第i个方程解出xi,i=1,2,¼,n并令cij=-aij/aii(i¹j)，gi=bi/aii就得到如下Jocobi迭代格式：x1(k+1)=c12x2(k)+c13x3(k)+××××+c1nxn(k)+g1x2(k+1)
24、=c21x1(k)+c23x3(k)+××××+c2nxn(k)+g2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。xn(k+1)=cn1x1(k)+cn2x2(k)+××××+cn(n-1)xn-1(k)+gn若令则有Jocobi迭代的矩阵格式：x(k+1)=BJx(k)+gJBJ称为Jocobi迭代矩阵。Jocobi迭代可以写成如下紧凑格式：在给定初始迭代向量x(0)后就可以进行Jocobi迭代求解了。2)Jacobi迭代算法1.输入变量个数n、初值向量x（0）、迭代精度eps、系数矩阵A、常数项b和迭代最大次数nmax2Fori=1,2,…,n2.1如果
25、aii
26、27、ps1,则输出“迭代失败”提示并终止3.BjÜE-D-1A4.gjÜD-1b5.Fork=1,2,…,nmax5.1xÜBj.x0+gj5.2如果
28、
29、x-x0
30、
31、32、
33、x-x0
34、
35、>eps,输出迭代失败，终止。3)Jacobi迭代法程序Clear[a,b,x];nmax=500;n=Input[“线性方程组阶数n=”];a=Input["系数矩阵A="]；b=Input["常数项b="]；x0=Input
