计算方法3_线性方程组迭代解法.ppt

《计算方法3_线性方程组迭代解法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3章线性方程组迭代解法Iterative11TechniquesforSolvingLinearSystems(2.1)直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解，解线性方程组还有另一种解法，称为迭代法迭代法：不是用有限步运算求精确解，通过迭代产生近似解逼近精确解基本思想是将线性方程组AX＝B化为X＝BX+F,再由此构造一个向量序列{X(k)}X(k+1)=BX(k)+F若{X(k)}收敛在某个极限向量X*，则可得X*就是(2.1)式的准确解线性方程组的迭代法主要有Jocobi迭代法、GaussSei

2、del迭代法和超松弛(SOR)迭代法Jacobi迭代和Seidel迭代由于收敛速度较慢，已经越来越不适应当前信息时代人们对计算速度和精度的要求，所以在实际应用中使用的并不多。但是，他们体现了迭代法的最基本的思想，是学习其它迭代法的基础如何构造迭代序列{X(n)}?{X(n)}在什么条件下收敛?收敛速率如何?误差估计.若在求解过程中X(k)X*(k)，由X(k+1)=(X(k))产生的迭代X(k)向X*的逼近，在数次迭代求解之后，由于机器跳动产生的X(k)值误差或是有效数字产生的舍入误差，都会在第

3、k+1次迭代计算中自动弥补过来或逐步纠正过来。因此，在迭代求解过程中产生的各种误差是可以忽略的，即迭代求解无累积误差，实际上，X(k)只是解的一个近似，机器的舍入误差并不改变它的性质。迭代过程中经常要遇到向量范数，矩阵范数以及序列极限的概念。3.1向量和矩阵的范数NormsofVectorsandMatrices数值分析中,经常要用向量和矩阵,为了应用的需要(误差分析),引入衡量向量和矩阵大小的度量——范数.对于实数x∈R,我们定义了绝对值,满足

4、x

5、≥0非负性

6、αx

7、=

8、α

9、·

10、x

11、齐次性

12、x+y

13、≤

14、

15、x

16、+

17、y

18、三角不等式类似地,定义向量范数Def3.1在实n维线性空间Rn中定义一个映射,它使任意X∈Rn有一个非负实数与之对应,记为

19、

20、X

21、

22、,且该映射满足:正定性任意X∈Rn,

23、

24、X

25、

26、≥0,ifandonlyifX=0时,

27、

28、X

29、

30、=0齐次性任意X∈Rn,λ∈R,有

31、

32、λX

33、

34、=

35、λ

36、·

37、

38、X

39、

40、三角不等式任意X,Y∈Rn,有

41、

42、X+Y

43、

44、≤

45、

46、X

47、

48、+

49、

50、Y

51、

52、则称该映射在Rn中定义了一个向量范数.注:Rn中的范数不唯一.常用的向量范数有三种:设X=(x1,x2,…,xn)T∈Rn.则注:(1

53、)用范数的定义可验证上述皆为向量范数(2)p=1,2,

54、

55、X

56、

57、p即为

58、

59、X

60、

61、1,

62、

63、X

64、

65、2.(3)任意x∈Rn:定理3.2设

66、

67、•

68、

69、α和

70、

71、•

72、

73、β是Rn上任意两种范数，则存在正常数C1和C2，使得对一切X∈Rn有C1

74、

75、X

76、

77、α

78、

79、X

80、

81、βC2

82、

83、X

84、

85、α注:Rn中范数的等价性表明,虽范数值不同,但考虑到向量序列收敛性时,却有明显的一致性.Def3.3Rn中X＝(x1,x2,…,xn)T和Y＝(y1,y2,…,yn)T则有有解(x1,x2,x3)T＝(1,1,1)T，用Gauss消去法得到

86、近似解Def3.4Rn中的向量序列{X(k)},即X0,X1,…XK,…其中XK＝(x1(k),x2(k),…,xn(k))T.若对任意i（i=1,2,…,n）都有注：向量序列收敛实际上是按分量收敛（数列收敛）利用向量范数，也可以说明向量序列收敛的概念。定理3.5向量序列{X(k)}依分量收敛于X*的充要条件是则向量X*＝(x1*,x2*,…,xn*)T称为{X(k)}的极限，记做类似于向量范数，给出矩阵范数的定义。Def3.6在线性空间Rn×n中定义一个映射，使任意A∈Rn×n对应一个非负实数，记做

87、

88、

89、A

90、

91、.如果该映射满足：1.正定性：（4.是矩阵乘法的需要，而1.2.3.为向量范数的推广。）2.齐次性：3.三角不等性：4.相容性：在Rn×n中可定义多种范数。有A=(aij)n×n∈Rn×n称为frobenius范数称为列范数称为行范数3.2Jacobi迭代法(3.1)设有方程组用矩阵表示(3.1’)其中A是系数矩阵，非奇异，X是解向量，B是右端项。(3.2)(3.3)若令则有B=D-1(D-A)=I-D-1A,G=D-1B方程(3.3)可记为X=BX+G方程(3.3)可记为X=BX+G选取初始向

92、量X0＝(x10,x20,…,xn0)T，代入方程(3.3)右端，可得到一个新向量，记为X1＝(x11,x21,…,xn1)T，一直进行下去，迭代格式X(n+1)=BX(n)+Gn=0,1,2,…以上过程产生向量序列{X(k)},若收敛于X*，则有X*=BX*+G(I-B)X*=G=D-1BAX*=B即X*是方程(3.1)的解(3.4)Jacobi迭代公式k012310x1k0.00000.60001.04730.93261.0001x2k