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《计算方法 解线性方程组的迭代解法课件.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数值分析——第3章解线性方程组的迭代解法解非线性方程:f(x)=0x=(x)令xk+1=(xk),若xk,则对于线性方程组Ax=b.考虑等价方程组x=Bx+f,为此构造序列:x(k+1)=Bx(k)+f——向量的迭代公式.要考虑向量列的收敛性,误差,向量间的距离.考虑距离3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数回顾:Rn中向量的范数:性质:①x:
2、
3、x
4、
5、0,且
6、
7、x
8、
9、=0x=0②kR,x:
10、
11、kx
12、
13、=
14、k
15、
16、
17、x
18、
19、③x,y:
20、
21、x+y
22、
23、
24、
25、x
26、
27、+
28、
29、y
30、
31、3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数1.向量范数【定义3-1】设V为线性空间,V上的
32、实值函数N(x)=
33、
34、x
35、
36、满足:①正定性:xV:
37、
38、x
39、
40、0,且
41、
42、x
43、
44、=0x=0②正齐性:kR,xV:
45、
46、kx
47、
48、=
49、k
50、
51、
52、x
53、
54、③三角不等式:x,yV:
55、
56、x+y
57、
58、
59、
60、x
61、
62、+
63、
64、y
65、
66、则称N(x)=
67、
68、x
69、
70、为V上向量x的范数.3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数性质:①若x0,②
71、
72、–x
73、
74、=
75、
76、x
77、
78、③
79、
80、
81、x
82、
83、–
84、
85、y
86、
87、
88、
89、
90、x–y
91、
92、3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数线性空间可以定义各种范数.其中最常用的有:x=(x1,x2,…,xn)Rn(Cn)①欧式范数:——又称为2-范数②最大模范数:——又称为-范数③绝对
93、值范数:——又称为1-范数④p范数:3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数注:①可以证明上述定义均满足向量的范数定义.②2-范数和1-范数都是p-范数的特例.③-范数也是p-范数的特例.(∵令p,有
94、
95、x
96、
97、p
98、
99、x
100、
101、).3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数【例3-3】视mn矩阵为mn维向量,Amn:——称为A的F范数.3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数2.矩阵范数——只考虑Rn中的方阵【定义3-2】若Ann.对应一个实数
102、
103、A
104、
105、,满足:①
106、
107、A
108、
109、0,且
110、
111、A
112、
113、=0A=0②
114、
115、kA
116、
117、=
118、k
119、
120、
121、A
122、
123、③
124、
125、A+B
126、
127、
128、
129、A
130、
131、+
132、
133、
134、B
135、
136、④
137、
138、AB
139、
140、
141、
142、A
143、
144、
145、
146、B
147、
148、则称
149、
150、A
151、
152、为方阵的范数——矩阵范数.例如为矩阵范数.3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数2.矩阵范数——只考虑Rn中的方阵注:矩阵理化及运算常要考虑矩阵与向量的乘积,希望范数
153、
154、Ax
155、
156、
157、
158、A
159、
160、
161、
162、x
163、
164、.【定义3-3】设
165、
166、
167、
168、为向量范数,
169、
170、
171、
172、M为矩阵范数.若ARnn,xRn
173、
174、Ax
175、
176、
177、
178、A
179、
180、M
181、
182、x
183、
184、.则称
185、
186、A
187、
188、M为与向量范数
189、
190、
191、
192、相容的矩阵范数.注:
193、
194、A
195、
196、F与
197、
198、
199、
200、1不相容,如3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数2.矩阵范数——只考虑Rn中的方阵【定义3-4】设ARn
201、n,
202、
203、
204、
205、为向量范数.称为矩阵A的算子范数.(诱导范数).注:①②可以证明算子范数满足矩阵范数的4个条件.故为矩阵范数.③矩阵范数不一定都是算子范数,如F-范数.3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数2.矩阵范数——只考虑Rn中的方阵④算子范数与向量范数相容.(∵)3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数2.矩阵范数——只考虑Rn中的方阵常见的算子范数有:①②③——2范数.其中max(ATA)为矩阵ATA的绝对值最大特征值.行范数(每行相加,取最大)列范数(每列相加,取最大)3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数【例3-7】设则
206、
207、A
208、
209、1=max{2,5,2}=5(
210、列范数)
211、
212、A
213、
214、=max{3,4,2}=43–132+38–25=0,3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数【例3-7】设则
215、
216、A
217、
218、1=max{2,5,2}=5(列范数)
219、
220、A
221、
222、=max{3,4,2}=41=9.1428,2=2.9211,3=0.9331.即注:
223、
224、A
225、
226、2不易计算但有用.3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数【定义3-5】设i(i=1,2,…,n)为ARnn的n个特征值,称(1.2)为A的谱半径.注:(A)
227、
228、A
229、
230、p(1.3)(∵Ax=x(x0),则
231、
232、
233、
234、x
235、
236、p=
237、
238、x
239、
240、=
241、
242、Ax
243、
244、p
245、
246、A
247、
248、p
249、
250、x
251、
252、
253、
254、
255、
256、
257、
258、
259、A
260、
261、p(A)=max
262、
263、
264、
265、A
266、
267、p——用来估计特征值的上界).不超过任何一种矩阵算子范数3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数【定理3-1】若
268、
269、A
270、
271、<1,则I+A可逆.且证明:①∵
272、
273、A
274、
275、<1,∴(A)<11不是A的特征值.故I+A可逆.3.2基本概念3.2.1向量与矩阵的范数【定理3-1】若
276、
277、A
278、
279、<1,则I+A可逆.且证明:②令D=(I+A)-1,则1=
280、
281、I
282、
283、=
284、
285、(I+A)D
286、
287、=
288、
289、D+AD
290、
291、
292、
293、D
294、
295、–
296、
297、AD
298、