计算方法 解线性方程组的迭代法.ppt

《计算方法 解线性方程组的迭代法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第9次解线性方程组的迭代法计算方法(NumericalAnalysis)主要内容迭代法的基本思想雅可比（Jacobi）迭代法雅可比迭代法的矩阵表示高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法Gauss—Seidel迭代法的矩阵表示Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代算法实现迭代法的基本思想迭代法是求解线性方程组，尤其是具有大型稀疏矩阵的线性方程组的重要方法之一。凡是迭代法都有一个收敛问题，有时某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时却会发散。一个收敛的迭代法不仅具有程序设计简单，适于自动计算，而且较直接法更少的计算量就可获得满意的解。第六章解线性

2、方程组的迭代法§6.1迭代法的基本思想将线性方程组转化为便于迭代的等价方程组若非奇异，，则线性方程组有唯一解，b)对任选一组初始值，按某种计算规则，不断地对所得到的值进行修正，最终获得满足精度要求的方程组的近似解。…步骤1：经过某变换构造出方程组(1)的一个等价同解方程组迭代法的基本步骤任务：设非奇异，，求解方程组(1)步骤2：建立迭代公式：步骤3：选定初始向量,反复使用迭代式进行迭代，期望逼近精确解，直到满足精度要求为止。…收敛定义：如果当k∞时，存在极限则称迭代法是收敛的，否则就是发散的。迭代法是收敛的意味着：……【注1】可以构造各种不同的迭代公式。收敛时，在迭代公式

3、中令，则故是方程组的解。【注2】并非所有的迭代公式都收敛…例1用迭代法求解线性方程组解：构造方程组的等价方程组建立迭代公式：迭代不收敛的例子取：迭代解离精确解进行迭代计算得：越来越远。迭代不收敛。原因是迭代公式不正确。Home雅可比（Jacobi）迭代法§6.2雅可比（Jacobi）迭代法例2.利用迭代法求解方程组已知精确解：x*=(3,2,1)T§6.2.1雅可比迭代法算法构造解：以下列独特的方式分离出右端不含x1右端不含x2右端不含x3由此，建立迭代公式：取初始向量进行迭代,可以逐步得出一个近似解的序列：同学们，迭代两次当迭代到第10次有:结果表明，此迭代过程收敛于方程

4、组的精确解x*=(3,2,1)T。当近似解能达到预先要求的精度，迭代终止，以最后得到的近似解作为线性方程组的解。考察一般的方程组，将n元线性方程组…………写成…若,分离出变量……由此，得到如下的被称为解方程组的Jacobi迭代公式：…实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量形式:(k=0,1,2,…)…………例3试用雅可比迭代法解线性方程组解：先构造雅可比迭代公式：精确解结论：该迭代收敛到：问题：对于一个有解的线性方程组，其雅可比迭代是否一定收敛呢？回答：Sorry,我现在也不知道。Home雅可比迭代法的矩阵表示§6.2.2雅可比迭代法的矩阵表示记作设方程组的系数矩阵A非奇异

5、，且主对角元素，则可将A分裂成DLUA=D-L-U………………则等价于即显然D可逆，于是有这样便得到一个迭代公式令则有，k=0,1,2…称为雅可比迭代公式,B称为雅可比迭代矩阵。由矩阵表达的雅可比迭代公式如下：例4.写出如下方程组的雅可比迭代公式的矩阵形式解：先将方程组表达为矩阵形式：Home高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法§6.3高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法§6.3.1高斯-塞德尔迭代法的基本思想在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的迭代值。现在修改Jacobi迭代法，使得若每次迭代充分利用当前最新的迭代值。在求时，使用用新分量：…

6、代替旧分量就得到高斯-赛德尔迭代法。…已经计算出的分量，马上就使用(i=1,2,…,nk=0,1,2,…)高斯-塞德尔迭代法格式为：旧分量新分量高斯-塞德尔迭代法分量形式格式为：……………例5.使用高斯-塞德尔迭代法解方程组解：确定迭代公式：同学们,计算：k=0,k=1,k=2取初值{0,0,0}当k=0代入初值计算，得当k=1代入计算，得当k=2代入计算，得初步结论：由Gauss-Seidel和Jacobi迭代法解方程组(1.2)均收敛，Gauss-sadel方法收敛较快针对有唯一解的线性方程组的Gauss-Seidel或Jacobi迭代法是否一定收敛？例6试用Gauss

7、-Seidel迭代法解线性方程组评论：该方程组的雅克比迭代方法收敛。同学们按照Gauss-Seidel迭代法构造迭代公式，看看是否收敛。精确解HomeGauss-Seidel迭代法的矩阵表示设方程组的系数矩阵A非奇异，且主对角元素，则可将A分裂成…A=D-L-U，则Ax=b等价于：§6.3.2Gauss-Seidel迭代法的矩阵表示因为,所以故D-L可逆。于是，则高斯-塞德尔迭代公式可以表达为：(D-L-U)x=b则高斯-塞德尔迭代形式为：记：在等式两端乘以D-L的逆矩阵，得：HomeJacobi迭代与Gauss-