解线性方程组的迭代法_计算方法大作业

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1、解线性方程组的迭代法1.1方法概述对于线性方程组Ax=b，其中A为非奇异矩阵，当A为大型稀疏矩阵时，考虑用迭代法求解上述方程组，其基本思想是求不动点X(k1)BX(k)fXn，使其收敛至某个极限*,即构造一个向量系列X，则*X就是要求的方程组的准确解。这儿主要介绍Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的算法理论及数值实验。1）Jacobi迭代法算法概述Jacobi迭代法推导过程为将方程组：a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2(1)axaxaxbn11n22nnnna0在假设

2、ii下，改写成x1b12x2b13x3b1nxng1x2b21x1b23x3b2nxng2(2)xnbn1x1bn2x2bnn1xn1gn如果引用系数矩阵a11a1n0b1nABaab0n1nn,n1x1b1g1及向量X，b，g，xbgnnn方程组（1）和（2）分别可写为：AXb及XBXg，这样得到了jacobik1k迭代格式XBXf0用jacobi迭代解方程组AXb时，就可任意

3、取0k1klimXk。但是，n比较初值X带入迭代可知式XBXg，然后求k大的时候，写方程组(1)和(2)是很麻烦的，如果直接由A，b能直接得到B，g就是矩阵与向量的运算了，那么如何得到B，g呢a0实际上，如果引进非奇异对角矩阵iia110D00ann将A分解成：AADD,要求AXb的解，实质上就有AX(AD)XDX,而D奇异的，所以D1存在，DXAX(DA)X,1111从而有XDAXDb,我们在这里不妨令BIDA,gDb就k1k得到jacobi迭代格式：XBXf。用向量的分量来表示为：1n

4、(k1)(k)xibiaijxjaj1iijii1,2,...n,k0,1,2,...0000Txx,x,...x其中12n为初始向量.由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵kk1和向量的乘法.在电算时需要两组存储单元,以存放x及x.2）Gauss-Seidel迭代法算法概述k由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用x的全部分量来计算xk1xk1时,已经的所有分量,显然在计算第i个分量ik1k1计算出的最新分量x,...,x没有被利用，从直观上看,最新计算1i1

5、出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第k1次近似k1xk1加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—x的分量j塞德（Gauss-Seidel）迭代法。把矩阵A分解成ADLU其中Ddiaga11,a22,...,ann,L,U分别为A的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成DLxUxb即xB2xf211其中BDLU,fDLb22以B2为迭代矩阵构成的迭代法(公式)k1kxBxf22称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用量表示的形式为1i1n(k1)(k1)(k)

6、xibiaijxjaijxjaj1ji1iii1,2,n,k0,1,2,...由此看出,高斯—塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在电算时,只k1kk1k需一组存储单元(计算出x后x不再使用,所以用x冲掉x,以iiii便存放近似解.1.2算法程序1）Jacobi迭代法现在考虑Jacobi迭代法的计算程序，按照算法(Jacobi迭代法)编写Matlab程序(Jacobi.m)如下：function[x,k,index]=Jacobi(A,b,ep,it_max)%求解线性方程组的Jacobi迭代法，其中%A---方程组的系数矩阵%b-

7、--方程组的右端项%ep---精度要求。省缺为1e-5%it_max---最大迭代次数，省缺为100%x---方程组的解%k---迭代次数%index---index=1表示迭代收敛到指定要求；%index=0表示迭代失败ifnargin<4it_max=100;endifnargin<3ep=1e-5;endn=length(A);k=0;x=zeros(n,1);y=zeros(n,1);index=1;while1fori=1:ny(i)=b(i);forj=1:nifj~=iy(i)