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《数值计算方法—解线性方程组的迭代法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数值分析一插值—基于MatIab的实现与分析§4多项式函数与函数的最佳逼近§4.1插值(Interpolation)§4.1.1问题的提出在工程地质测量、机械设计及其制造、信号分析等实践中,经常回遇到曲线的描绘或函数的确定问题，平面上的曲线方程可写成如下的形式y=/(x)(1)一般情况下，人们能够知道的或者说能够得到的只是曲线上的若干点，如通过测量可以得到曲线上(兀,yjZ=(2)的“+1个点，由于信息不全，这“+1个点不足以确定其所在的曲线，因而人们退一步地希望在充分利用这些数据的前提下，确定一条“简单的”且与未知曲线“最接近”的曲线；此外，在科学研究和计算中，往往回
2、遇到复杂函数的分析与计算，有吋用简单的函数来代替，可能会去掉不必要的麻烦而使问题比较容易地得到解决。只需对自变量做加、减法和乘法运算就能得到函数值是多项式函数显著的特点之一，因此，从计算的角度来说多项式函数是最简单的，因此，在函数最佳逼近方面，“简单的函数（曲线）”指的就是多项式函数（类）；所谓“最接近”或者严格地说最佳逼近，就是从指定的一类简单的函数中寻找一个和给定的函数“最贴近”的函数，从几何（空间）的角度看，函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数（点的集合）中寻找一个和给定的函数（定点）之间距离最短的函数（点）。函数空间中不同的距离度量确定了不同的逼近准则，不同的
3、逼近准则定义了不同的函数最佳逼近。在插值问题中，最佳逼近准则是：在已知的全部点处，简单函数（被插值多项式）的函数值与未知函数的函数值相等，即P（xk）=ykk=（3）§4.1.2关于插值问题的基本定理定理：给定"+1个曲线上点z=0,1,•••,«，如果兀，j=o,l,…,"互不相同，那么，在所有次数不超过“次的多项式函数中，存在唯一的多项式函数代⑴，满足条件（3）。证明：次数不超过"的多项式化⑴可写成即的形式，要证明在所有次数不超过斤次的多项式函数中，存在唯一的多项式函数化⑴，满足条件（3）,等价与证明线性方程组n//、1…X。>01…旺"■■■1■■■••••••
4、...rnAn」•••"丿••■J儿丿Pn(小)=兔+G內+…+anXl；=%有唯一解，线性方程组（6）有唯一解的充分必要条件是系数矩阵满秩，因为方程组（6）的系数矩阵是Vandomonder矩阵,满秩的充分必要条件是厂心0丄・・・，互不相同，因此，当和心0,1,...,”互不相同时，存在唯一的次数不超过“次的多项式满足条件（3）o§4.1.3构造插值多项式的方法1）一点说明可以通过解线性方程组（6）,得到插值多项式（4）的系数20,1,…宀但是2）拉格朗日（Lagrange）插值法（1）构造插值多项式的基函数L,(x)=fr匕-兀丿="-晟E飞"-x,)...(x,-
5、x,_,Xx,-x,+,)...(x,-X„)(2)拉格朗日插值多项式厶⑴=Es(%)儿k=0(3)简单的证明因为拉格朗日插值多项式的基函数有如下的性质:1x=xk0x=Xj.jk所以拉格朗日插值多项式L(耳)=丫厶丿(兀J儿=Lk(xk)yk=儿J=o满足插值的条件。(4)拉格朗日插值法的不足在实际问题中，观测的数据可能会不断增加，如果用拉格朗日插值公式构造插值多项式，那么，每当增加数据就要重新计算多项式的系数，由此增加许多不必要的计算工作量。2)牛顿(Newton)插值法将插值多项式匕⑴写成下面的形式Pn（x）=a（）+a｝（兀一兀o）+°2（兀一兀o）（兀一兀J+
6、…+色（兀一兀oX兀一兀1）…（兀一£-1）其系数的确定有如下的特点：计算第£个系数只用到前以寸数据，如do=Pn(^0)=>0'代（西）一兔二必一儿兀］_兀0Xj-x0因此，当数据增加吋，不需要重新计算已有的多项式系数，例如，在已得到插值多项式（11）的情况下，当新增加一对数据（和，儿+J时，只需要在原有的插值多项式的基础上增加一项a〃(x_XoXx_K)…因此，对于新的插值多项式耳+心）=兔+a】（x_兀0）+色&_兀0）（兀_兀】）+・・・+色危_观灭兀_西）・・心_£一］）+色+1（兀_兀0）（兀_兀1）・・心_兀”）只需要计算系数2）简单的例子与高次多项式插值
7、的Runge现象Plot_LangInterpPlotRunge分段低次多项式插值6）厄米特（Hermite）多项式插值如果插值条件为:p比）二九F仇叫嫌）=0这时的插值问题称为厄米特插值问题o7)(三次)样条(Spline)插值(1)插值条件要求所求的插值多项式s&)(三次样条函数)a在每个区间—20,1,2,…，“,是次数不超过三次的多项式;b$(忑)=九,k=0,1,2,…，”;cs(X)在区间［x°,X”］上具有二阶连续导数。(2)确定三次样条函数的条件根据三次样条插值的要求，样条插值函数在每个小区间［%,如，“0,1,2,…，“
