高等数学8-8 多元函数的极值及其求法课件.ppt

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1、第八节多元函数的极值及其求法多元函数极值最值应用问题条件极值一、多元函数的极值及最大值、最小值1、二元函数极值的定义(1)(2)(3)证2、多元函数取得极值的条件注意：驻点可导函数的极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.偏导数不存在的点也有可能是函数的极值点3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法设f(x,y)在有界闭区域D上连续，D内可微且在D内至多有有限个驻点,这时若f(x,y)在D内取得最值,则这个最

2、值也一定是极值将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.故一般方法是解如图,在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.条件极值：对自变量有附加条件的极值．二、条件极值与拉格朗日乘数法假定点P(x0,y0)为条件极值点在(x0,y0)的某个邻域内且不同时为0f(x,y)可微确定了一个

3、隐函数y=y(x)故z=f[x,y(x)]在P(x0,y0)处取得极值故即又由隐函数的微分法知代入上式令得P(x0,y0)为条件极值点的必要条件为xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点.P条件极值点.例3求内接于椭球的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面解设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为(x,y,z)则长方体的体积为V=8xyz令解得则最大长方体的体积为V=解令小结多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值拉格朗日乘数法作业P613,4,8,9,10思考题解