8-8多元函数的极值及其求法

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1、第八节多元函数的极值及其求法多元函数的极值与最值(无条件极值)极值和最大、最小值问题属于优化问题范畴,它是一种简单的优化问题.多元函数的极值无条件极值条件极值拉格朗日乘数法多元函数的极值实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁.问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.一、多元函数的极值与最值2/201、二元函数极值的定义(2)(3)(1)2、多元函数取得极值的条件*证4

2、/20驻点极值点注意：处的切平面方程为由可微函数取极值的必要条件：此时,切平面平行于xy平面.设函数在点处可微且取极值,则相应的曲面在点下面看看函数极值的几何意义故切平面方程实际为5/20问题：如何判定一个驻点是否为极值点？例求的极值.解联立方程组,求驻点:解之得驻点又点是极小点,极小值为点是极大点,极大值为点不是极值点.故3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法设f(x,y)在D上连续，D内可微且在D内至多有有限个驻点,这时若f(x,y)在D内取得最值,则这个最值也一定是极值。将函数在D内的所有驻点处的函

3、数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.故一般方法是：即如下图示：9/20在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）解如图,例距离之平方和为最大及最小的点.解·所求距离之平方和为