多元函数的极值及其求法(3)

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1、第八章多元函数微分法及应用（§8多元函数的极值及其求法）第八节多元函数的极值及其求法要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。重点：二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法，拉格朗日乘数法求最值实际问题。难点：求最值实际问题建立模型，充分性判别法的证明。作业：习题8－8（）问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，先来讨论多元函数的极值问题．一．多元函数的极值定义设函数在点的某个邻域

2、内有定义，对于该邻域内的所有，如果总有，则称函数在点处有极大值；如果总有，则称函数在点有极小值．函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．例1．函数在点处不取得极值，因为在点处的函数值为零，而在点的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．例2．函数在点处有极小值．因为对任何有．从几何上看，点是开口朝上的椭圆抛物面的顶点，曲面在点处有切平面，从而得到函数取得极值的必要条件．定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即，．证明不妨设函数在点处有极大值，依定义，在该点的邻域上

3、均有，成立．特别地，取而的点，有也有成立．10第八章多元函数微分法及应用（§8多元函数的极值及其求法）这表明一元函数在处取得极大值，因而必有．类似地可证　．几何解释若函数在点取得极值，那么函数所表示的曲面在点处的切平面方程为是平行于坐标面的平面．类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为，，说明上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组，求得解，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数的驻点．注意1．驻点不一定是极值点，如在点．怎样判别驻点是否是极值点呢？下面定理回答了这个问题

4、．定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又，，令，，，则（1）当时，函数在点取得极值，且当时，有极大值，当时，有极小值；（2）当时，函数在点没有极值；（3）当时，函数在点可能有极值，也可能没有极值，还要另作讨论．求函数极值的步骤：10第八章多元函数微分法及应用（§8多元函数的极值及其求法）（1）解方程组，，求得一切实数解，即可求得一切驻点；（2）对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值；（3）确定的符号，按定理2的结论判定是否是极值，是极大值还是极小值；（4）考察函数是否有导数不存在的点，若有加以判别是否为极值点．例3

5、．考察是否有极值．解因为，在处导数不存在，但是对所有的，均有，所以函数在点取得极大值．注意2．极值点也不一定是驻点，若对可导函数而言，怎样？例4．求函数的极值．解先解方程组，求得驻点为，再求出二阶偏导函数，，．在点处，，又，所以函数在点处有极小值为；在点处，，所以不是极值；在点处，，所以不是极值；在点处，，又，所以函数在点处有极大值为．二．函数的最大值与最小值求最值方法：⑴将函数在区域内的全部极值点求出；⑵求出在边界上的最值；即分别求一元函数，10第八章多元函数微分法及应用（§8多元函数的极值及其求法）的最值；⑶将这些点的函数值求出，并且互相比

6、较，定出函数的最值．实际问题求最值根据问题的性质，知道函数的最值一定在区域的内部取得，而函数在内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最值．例4．求把一个正数分成三个正数之和，并使它们的乘积为最大．解设分别为前两个正数，第三个正数为，问题为求函数在区域：，，内的最大值．因为，，解方程组，得，．由实际问题可知，函数必在内取得最大值，而在区域内部只有唯一的驻点，则函数必在该点处取得最大值，即把分成三等份，乘积最大．另外还可得出，若令，则即．三个数的几何平均值不大于算术平均值．例5．由一宽为的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等

7、腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解设折起来的边长为，倾斜角为，那么梯形断面的下底长为，上底长为，高为，则断面面积即，D：，，下面是求二元函数在区域：，上取得最大值的点．10第八章多元函数微分法及应用（§8多元函数的极值及其求法）令由于，上式为将代入（2）式得，再求出，则有，于是方程组的解是，．在考虑边界，当时，函数为的一元函数，求最值点，由，得．所以，．根据题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在区域：，内取得，通过计算得知时的函数值比，时函数值为小，又函数在内只有一个驻点，因此可以断定，当，时，就能使断面的面积最大．三．条件极值

8、，拉格朗日乘数法引例求函数的极值．该问题就是求函数在它定义域内的极值，前面求过在取得极小值；若求函数在条件下极值，这时自变量受到约束，不能在整个函数定