多元函数的极值及其求法(II)

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1、第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其求法1第九章第八节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值2一、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有3定理1.(必要条件)函数在点存在偏导数,证:在点在在据一元函数极值

2、的必要条件取得极值取得极值取得极值且在该点取得极值,则有4说明(1)使偏导数都为0的点称为驻点,但驻点不一定是极值点.例有驻点(0,0)但在该点不取极值(2)偏导数不存在点也可能是极值点.例在点(0,0)有极大值问题：如何判定一个驻点是否为极值点？5时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当2)当3)当证明见第九节(P122).时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数时取极大值;时取极小值.6例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值

3、;在点(1,2)处不是极值;解方程组的极值.求二阶偏导数7例1求函数驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.的极值.8例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)是它们的驻点,并且在(0,0)都有在(0,0)点邻域内的取值可能为因此z(0,0)不是极值.因此当时,为极小值.正负0在点(0,0)910二.最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别：当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,则为极小()值为最小()值大大11求最值的一般方法：将

4、函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.12解如图,1314例4.水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为,高为时，水箱所用材料最省。解:设水箱长,宽分别为,m,则高为15例5.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来,解:设折起来的边长为则断面面积为x24做成

5、一个断面为等腰梯形的水槽,问怎样折法才能倾角为使断面面积最大16令解得:由题意知,最大值在定义域内达到,而在域内只有一个驻点,故为所求.17三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化18方法二.拉格朗日乘数法在条件下,求函数的极值.分析:设条件方程则问题等价于一元函数极值点必满足可确定隐函数极值问题,极值点必满足故19引入辅助函数极值点必满足辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法

6、.20推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件21例6要设计一个容量为的长方体开口水箱,试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？使则问题为求令解方程组得由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省。解:设分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.在条件因此,当高为22解则23例8.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：设为抛物面上任一点，则P的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面24令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故25试在椭圆解答提示:

7、例9则已知平面上两定点,,圆周上求一点,使面积最大.设点坐标为,26设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而面积最大.比较可知,点与重合时,三角形27内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法28设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.29思考题30思考题解答31

8、作业P1183，5，7，9,1032