函数的极值及其求法(II)

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1、函数的极值及其求法由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。一、函数极值的定义定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,注①这个结论又称为Fermat定理②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变符号③不可导点也可能是极值点可疑极值点：驻点、不可导点可疑极值点是否是真正的极值点

2、，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。定理2(第一充分条件)(是极值点情形)求极值的步骤:(不是极值点情形)例1解列表讨论极大值极小值图形如下定理3(第二充分条件)证例2解图形如下注意:例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例4证（不易判明符号）而且是一个最大值点，例5设f(x)连续，且f(a)是f(x)的极值，问f2(a)是否是f2(x)的极值证分两种情况讨论①所以f2(a)是f2(x)的极小值②设f(a)是f(x)的极小值，且又f(x)在x=a处连续，且f2(a)是f2(x)的

3、极大值同理可讨论f(a)是f(x)的极大值的情况例6假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且证明当n为偶数时，f(x0)是f(x)的极值当n为奇数时，f(x0)不是f(x)的极值证由Taylor公式，得因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内下面来考察两种情形①n为奇数，当x渐增地经过x0时变号不变号变号不是极值②n为偶数，当x渐增地经过x0时不变号不变号不变号是极值且当时是极小值当时是极大值极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条

4、件)三、小结思考题下命题正确吗？思考题解答不正确．例在–1和1之间振荡故命题不成立．