函数极值及其求法

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1、§3．5函数的极值及其求法函数的极值及其求法极值的定义取得极值的必要条件、驻点取得极值的第一种充分条件确定极值点和极值的步骤取得极值的第二种充分条件设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0(a,b)．x1x2x3x4x5x6x7xyOaby=f(x)f(a)和f(b)是否为极值？xU(x0)，有f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一。。。如果U(x0)，个极小值；函数的极值及其求法极值的定义：函数的极大值与极

2、小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0(a,b)．xU(x0)，有f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一。。。如果U(x0)，个极小值；函数的极值及其求法极值的定义：取得极值的必要条件：观察极值与切线的关系：在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的．xyOabx1x2x3x4x5x6x7y=f(x)定理1（必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在

3、x0处取得极值，那么f(x0)0．证明驻点：使导数为零的点(即方程f(x)0的实根)叫函数f(x)的驻点．应注意的问题：可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点．但反过来，函数f(x)的驻点却不一定是极值点．取得极值的必要条件：假定f(x0)是极大值，根据极大值的定义，在x0的某个去心邻域内，对于任何点x，f(x)x0时极小值的情形可类似地证明．必要条件的证明：观察函数f(x)x３在x0处的导数与极值情况．xyOy=x3在x=0处，f(0)0

4、.但函数在x=0无极值．定理2（第一种充分条件）设函数f(x)在点x0的一个邻域内连续，在x0的左右邻域内可导．(1)如果在x0的某一左邻域内f(x)>0，在x0的某一右邻域内f(x)<0，那么函数f(x)在x0处取得极大值；(2)如果在x0的某一左邻域内f(x)<0，在x0的某一右邻域内f(x)>0，那么函数f(x)在x0处取得极小值；(3)如果在x0的左右邻域内f(x)不改变符号，那么函数f(x)在x0处没有极值．取得极值的第一种充分条件：取得极值的第一种充分条件的几何意义：x1x2x3x4x5x6x7xyOaby=f(x)

5、f(x)<0f(x)>0f(x)>0f(x)<0在极小值点附近在极大值点附近确定极值点和极值的步骤：(1)求出导数f(x)；(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点；(3)列表判断（考察f(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况，以便确定该点是否是极值点，如果是极值点，还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值）；(4)确定出函数的所有极值点和极值．函数f(x)的极大值为f(1)10，极小值为f(3)22．例1求函数f(x)x33x29x5的极值．解(1)f(x)3x26x93(x1)(x

6、3)．(2)令3(x1)(x3)0，得驻点x11，x23．(3)列表判断：(3,)22(,1)1(1,3)3f(x)00f(x)10极大极小10123x2010yy=x3-3x2-9x+5例2求函数f(x)1(x2)2/3的极值．解(1)当x2时，(2)函数无驻点，x2是导数不存在的点；(3)列表判断：f(x)f(x)(-，2)2(2，+)+-不存在1极大值函数f(x)在x2取得极大值，极大值为f(2)1．101234x1yf(x)1(x2)2/3应注意的问题：如果函数f(x

7、)在驻点x0处的二导数f(x0)0，那么点x0一定是极值点，并且可以按二阶导数f(x0)的符来判定f(x0)是极大值还是极小值．但如果f(x0)0，定理3就不能应用．定理2(第二种充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f(x0)0，f(x0)0，那么(1)当f(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值；(2)当f(x0)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值．证明取得极值的第二种充分条件：从而知道，对于这去心邻域内的x来说，f(x)与xx0符号相反．因此，当xx0<0即x

8、(x)>0；当xx0>0即x>x0时，f(x)<0．于根据定理2，f(x)在点x0处取得极大值．在情形(1)，由于f(x0)<0，按二阶导数的定义有根据函数极限的局部保号性，当x在x0