4.4 函数的极值及其求法

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4.4函数的极值及其求法一、什么是极值？　　极值的定义　设函数在的某个邻域内恒有　　或（）　　成立，则称是函数的一个极大值(或极小值)．　　极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．　　 可见，极大值就是局部最大值，极小值就是局部最小值．二、哪些点有可能是极值点？　　分析图形 　　先观察极大值点，函数在的左边是单调增加的，而在的右边变成单调减少的了．其它极大值点处，同样地函数在其左边单调增加，在其右边单调减少．　　思考：在极小值点的左右两边，函数的单调性有没有什么变化？有什么样的变化？请同学们自行思考．当前讲授　　可见，极值点就是函数单调增减区间的交界点．　　例4.3.2　讨论函数的单调区间．　　提示>> 　　解　(1)函数的定义域为．　　　　(2)．令，得驻点 ，．(无不可导的点)　　　　(3)列表分析１－00－↘      ↗ ↘　　可见，函数在区间和上单调减少，在区间上单调增加．　　答：函数的单调减少区间为和，单调增加区间为．　　在例4.3.2中，是极小值点，是极大值点．极小值是，极大值是．　　例4.3.3　求的单调区间．　　提示>> 　　解　(1)定义域为．　　　　(2)  ，令，得驻点．此外是不可导的点．　　　　(3)列表分析02+－0+↗      ↘ ↗　　答： 的单调增加区间是和，的单调减少区间是．　　在例4.3.3中，函数有极大值点，极大值为；极小值点，极小值为．　　结论：对于连续函数，只有驻点和不可导的点才有可能是极值点． 三、求极值的方法及步骤　　方法一（第一充分条件：利用一阶导数） 　　步骤：　　(1)求出函数的驻点和不可导的点．　　(2)以上述点划分定义域，列表分析，确定函数的单调区间．　　(3)从表中找出单调性发生变化的交界点(即极值点)，并求出这些点处的函数值，即得所求极值．　　说明：在极值点的左右，若一阶导数符号从‘－’变到‘＋’，则该点为极小值点；若一阶导数符号从‘＋’变到‘－’，则该点为极大值点；若一阶导数不变号，则该点不是极值点．　　方法二（第二充分条件：利用二阶导数） 　　对于函数的驻点（即一阶导数为零的点），考察该点处的二阶导数．如果不为零，则该点为极值点；如果为零，则无法判断．　　在极值点处，若二阶导数值大于零，则该点为极小值点，若二阶导数值小于零，则该 点为极大值点．　　典型例题 　　例题4.4.1　求的极值．　　解：定义域为．　　(1)求驻点和不可导的点．　　　　令，得驻点：，，．无不可导的点．　　(2)列表分析　　　　　　　01－0+0+0-↘极小值↗无极值↗极大值↘　　答：极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为．　　特别注意： 　　1.在的左右，一阶导数不变号（均大于零），意味着函数在该点左右单调性无变化，所以该点不是极值点．　　2.驻点可能是极值点，但并非一定是极值点．例如本题中的是驻点但不是极值点．对于不可导的点，也有类似的结论．　　定理（极值的必要条件）：如果函数在点处可导且取得极值，则必有，即一定是驻点．　　例题4.4.2　求函数的极值．　　提示>> 　　解　定义域为．　　(1)求驻点和不可导的点．，　　令 ，得驻点：，，．无不可导的点．　　(2)列表分析　　　　　　　01+0-0+0-↗极↘极↗极↘ 大值小值大值　　答：函数在处取得极小值，极小值为；在处取得极大值，极大值为．　　例题4.4.3　试问a为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．　　提示1>> 　　解　，显然在处可导，又题设在处取得极值，所以应有，　　即，　　亦即　　从而解得．　　提示2>> 　　又　　在处，有　　所以函数在处取得极大值，极大值为