高等数学8-8多元函数的极值及其求法

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1、第八节一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值多元函数的极值及其求法1一、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有2定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值且在该点取得极值,则有存在故34仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：5时,具有极值定理2(充分条件)的某邻

2、域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数67例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数8在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;9解101112二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据13解如图

3、,141516解由1718对于实际问题可根据实际问题的意义判断最大值和最小值的存在性。例5某公司在生产中使用甲、两种原料,已知甲和乙两种原料分别使用x单位和y单位可生产Q单位的产品，且已知甲原料单价为20元/单位，乙原料单价为30元/单位，产品每单位售价为100元，产品固定成本为1000元，求该公司的最大利润。解利润函数为19（利润函数）解方程组求得唯一驻点（5，8）所以在（5，8）取得极大值20无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.21三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义

4、域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化22方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有23引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.24推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件25例6抛物面被平面x+y+z=1截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长与最短距离。解该问题即求函数在条件及x+y+z=1下的最大值与最小值。

5、求偏导得到可能的极值点：26由该问题的实际意义知该问题确实存在最大值与最小值，其最大值与最小值为27解则28例8某公司通过电台和报纸两种方式做销售其产品的广告，根据统计资料分析可知，销售收入R（万元）与电台广告费x（万元）、报纸广告费y（万元）有如下经验公式：R=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2（1）在广告费用不限的情况下，求使销售净收入最大的广告策略；（2）若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.29解(1)销售净收入为L=R-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x2-10y2由极值必要条件Lx=13-8y-4x=0,Ly=31-8

6、x-20y=0得驻点(x0,y0)=(0.75,1.25)由于Lxx=-4<0,Lxy=-8,Lyy=-20得B2-AC=-16<0(x0,y0)=(0.75,1.25)为极大值点,亦最大值点于是,电台广告费为0.75万元,报纸广告费为1.25万元时,销售净收入最大,最大值为39.25万元.3031例9某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是P1=18-2Q1,P2=12-Q2总成本为C=2Q+5,Q=Q1+Q2（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，

7、试确定两个市场上该产品的销售量和其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。32解（1）33（2）34例10：某公司准备用2百万元的资金，通过两种方式做广告，一种是电台广播，一种是在日报上登广告，根据以王经验，销售收入与广告费用之间有如下关系费和日报广告费，单位均为百万元.试确定广告费使用的最佳方案，使销售金额最大。解35且为最大值36即时有极大值，也就是最优方案。37例11设产品的产量是劳动力x和原料y的函数为假定每单位劳动力花费100元，每单位原料原料花费200元，现有资金30000元用于生产，应如何按排劳动力与原料，