多元函数的极值及其求法 ppt课件.ppt

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1、第八节多元函数的极值及其求法1、多元函数的极值2、多元函数的最值复习：一元函数极值的定义复习：一元函数极值存在的必要条件和极值判断定理定理(极值存在的必要条件)如果点x0是函数f(x)的极值点，且f(x)存在，则f(x)0多元函数的极值1、二元函数极值的定义一、二元函数的极值及最大值最小值(1)(2)(3)例1例2例3多元函数取得极值的必要条件仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点（可导）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：多元函数极值的判定定理且令(2)

2、时没有极值；(3)时可能有极值,(1)时具有极值，时有极大值，时有极小值也可能没有极值。例1求函数解：第一步求驻点。得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别。在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值。求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值；在点(3,2)处为极大值。在点(1,2)处不是极值；练习求函数的极值。解：解方程组即得唯一解驻点为又因为所以极大值为：为极大值点，由于求最值的一般方法：1、在可微的前提下，将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值

3、相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.2、若是求实际问题的最值，由实际问题决定与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.2、多元函数的最值例2：（爬山的故事）杜海涛携女友和何炅寒假期间一起去爬鼎湖山。。。杜海涛及女友何炅A确定自己位置：点找到山表面的方程何炅一路：建立坐标系，显然方程组只有一个解易知为极大值点。杜海涛一路：很遗憾，在间断点A处，他醒来之后，他看到。。。虽万分小心，还是掉进了深渊。。。杜海涛是当时最著名的金匠，被召进宫为熹妃娘娘打造一个珠宝箱，具体要求

4、：箱子为长方体，体积8立方尺，底部用黄金平板，四壁用白银平板，盖子是镶满珍珠的面板。当时的行情：黄金平板16金币/平方尺，白银6金币/平方尺，珍珠面板8金币/平方尺，娘娘愿意给他1000个金币。试问他该不该接下这个任务？解:设珠宝箱长,宽分别为x,y尺,则高为则珠宝箱所用材料费用为：由方程组解得根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,因此可断定此驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,珠宝箱所用材料最省.此时,珠宝箱所用费用：（个金币）杜海涛获利约（个金币）解如图,先求函数在内的驻点，解方程组在边界和

5、上,再求在边界上的最值得区域内唯一驻点本练习中求函数在x+y=6上的极值，称为求函数在条件x+y=6下的条件极值。条件极值：对自变量有附加条件的极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件。（自然函数如例1）条件极值：对自变量有附加条件的极值。（实际问题，如例2）条件极值问题求解方法：1、将条件融入到所求解的目标函数；如例2，条件：体积为8，即则代入费用函数得：求自然函数C(x,y)的最小值即可。条件极值问题求解方法：1、将条件融入到所求解的目标函数；2、条件无法融入到所求解的目标函数；

6、例3：假设方程式表示地球表面。而厄瓜多尔的位置为（1,0,0）。有个外星种族，对着地球照射了一种改变心智能力的射线，该射线的强度分布函数为结果，住在该射线最强的地球表面的人们，个个都变成了爱因斯坦，而居住在该射线强度最弱区域的人们，智能变得跟鼻涕虫差不多，请找出地球上遍地皆天才的位置在哪？且北极的坐标位置为（0,0,1），分析：此问题是在求解的最大值，而此条件虽可以融入到目标函数之中，但很难求解。的条件下，启用求解条件极值专用法——拉格朗日乘数法引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函

7、数.则极值点满足:利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件推广求解例2：构造拉格朗日函数求解方程组得其实为同一个解得两个点(0,0,1)和(0,0,-1)，且条件极值问题求解方法：1、将条件融入到所求解的目标函数；2、条件无法融入到所求解的目标函数；拉格朗日乘数法练习：黄韬打算在情人节为女朋友花2千元钱，用来购买两种物品：玫瑰花和巧克力，设他购买x支玫瑰花，y盒巧

8、克力，效果函数为。问题的实质：求在条件下的极值点。设每支玫瑰花8元，每盒巧克力50元，问他如何分配这2千元以达到最佳效果。解则故最大值为例1要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价应如何设拉格朗