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1、§8.8多元函数的极值与最值一、多元函数的极值三、多元函数的条件极值的定义四、Lagrang(拉格朗日)乘数法二、多元函数的最值1一、多元函数的极值复习y=f(x),极值的必要条件，极值的第一，第二充分条件.234567891011定义若函数则称函数在该点取得极大值极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有(极小值).1.二元函数极值的定义注多元函数的极值也是局部的,内的值比较.是与P0的邻域一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极小值可能比极大值还大.12例例例在(0,0)点取极小值
2、.在(0,0)点取极大值.(也是最大值).在(0,0)点无极值.椭圆抛物面下半圆锥面马鞍面函数函数(也是最小值).函数132.二元函数极值的必要条件定理则证有极大值,不妨设都有的极大值点,同理可证也有是一元函数14推广如果三元函数具有偏导数,则它在有极值的必要条件:称为函数的驻点具有偏导的极值点类似一元函数,使一阶偏导数同时为零的点,驻点.例如,驻点,但不是极值点.说明15例但(0,0)是函数的极大值点.所以，在研究函数的极值时,除讨论偏导数为0的点外,还应研究偏导数不存在的点.也可能是极值点.在点(0,0)处的偏导数不存在,说明偏导数不存
3、在的点，极值点偏导数不存在的点驻点163.二元函数极值的充分条件定理有二阶连续偏导数,(1)是极值,为极大值,为极小值;(2)不是极值;(3)可能是极值,也可能不是极值.则不能确定,需另行讨论.17求函数极值的一般步骤:①解方程组求出实数解,得驻点.②对于每一个驻点求出二阶偏导数的值③定出的符号,判定是否是极值.（此法判定不了的点及偏导数不全存在的点，用定义或其他方法判定是否为极值点）.18例解在点(0,0)处,在点(a,a)处,的极值.不是极值;是极大值.①解方程组②求的符号③定出19解求由方程将方程两边分别对x,y求偏导数,由函数取极值
4、的必要条件,令得驻点为法1代入原方程,练习20f(1,－1)是极值.将上方程组再分别对x,y求偏导数,在驻点代入方程组，得21为极小值;为极大值.f(1,－1)是极值.22求由方程解法2初等配方法方程可变形为根号中的极大值为4,为极值.为极大值,为极小值.练习23最大者即为最大值,最小者即为最小值.求二元连续函数在有界闭域D内的最值的一般步骤:①求函数在D内的所有嫌疑点②求函数在D的边界上的嫌疑点---③将所有嫌疑点的函数值相互比较,二、多元函数的最值若f(x,y)在有界闭域D上连续，则在D上必有最值.边界上的最值点.24当最值在区域内部取
5、到,且只有一个极值点P时,(大)(大)为极小值为最小值特别的解(1)求函数在D内的驻点（嫌疑点）由于所以函数在D内无极值点.(2)求函数在D边界上的最值点(最值只能在边界上)围成的三角形闭域D上的最大(小)值.例D26①在边界线②在边界线最小,又在端点(1,0)处,最大.有驻点函数值有单调上升.D27③在边界线所以,最值在端点处.函数单调下降,(3)比较D为最小值;为最大值.28三、多元函数的条件极值实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带。设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，
6、每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极大值点．29对自变量有约束条件的极值.条件极值求条件极值的方法①代入法.②拉格朗日(Lagrange)乘数法.30解例已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为由题意长方体的体积为(1)代入(1)式(目标函数)(约束条件)31已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？且长方体体积一定有最大值,长方体体积最大.故当的长、宽、高都为6时,由于V在D内只有一个驻点,32上例的条件极值问题
7、,但并不是所有情况下都能这样做，更多时候拉格朗日乘数法.说明是通过将约束条件代入目标函数中求解;一般方法——用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题的33目标函数约束条件设函数(1)在由条件(1)(2)取得极值,则首先有(3)确定y是x的隐函数则一元函数也取得极值.四、Lagrange(拉格朗日)乘数法在(4)34代入(4)得:(4)记上述必要条件变为:(6)(6)便是为极值点的必要条件.35(6)中的三个式子的左边恰是(6)三个一阶偏导数在的值.称为拉格朗日函数拉格朗日乘数36在条件求函数下的可能极值点,先构造拉格朗日函数令解出其中就是可能
8、的极值点的坐标.拉格朗日乘数法求条件极值实际问题中,可根据问题本身来判定所求点是否为极值点.37推广约束条件多于一个的情况.自变量多于两个，目标函数约束条件例拉格朗日函数38令满
