多元函数的极值及其求法.ppt

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1、第八节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值和最值二、条件极值拉格朗日乘数法三、小结一、多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义例1例２例３(3)(2)(1)2、多元函数取得极值的条件证仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点偏导数存在的极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：例4求函数的极值。解求解方程组：得驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数不存在。求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，

2、其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值解令无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为U(x,y)=lnx+lny．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．三、条件极值拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值．求解方程组解出x,y,z,t即得可能极值点的坐标.解则例6求表面

3、积为a2而体积为最大的长方体的体积.设长方体的长、宽、高为x,y，z.体积为V.则问题就是条件求函数的最大值.令下，则令即由(2),(1)及(3),(2)得由(2),(1)及(3),(2)得于是，代入条件，得解得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，所以，最大值就在此点处取得。故，最大值最大值一定存在，解则由(1)，(2)得由(1)，(3)得将(5)，(6)代入(4)：于是，得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四、

4、小结作业：70页1~6，9