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1、1、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为2、梯度的概念（注意梯度是一个向量）•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为方向:f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值•梯度的特点3、方向导数与梯度的关系方向导数存在偏导数存在•可微4、可微、可导、方向导数•梯度在方向l上的投影.梯度的运算律类似于导数的运算律P108，题9其中C为常数。解由梯度计算公式得故例5.设函数解:(1)点P处切平面的法向量为在点P
2、(1,1,1)处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.求等值面(2)函数f在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为向量场VectorFields第九章第八节一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大、最小值定义:若函数则称函数在该点取得极大值例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有(极小值).注意
3、：极值是局部概念极值必须在定义域的内部取得极值点必须是定义域的内点定义域的边界点不可能是极值点。最大值也是极大值最小值但非极小值极值的必要条件？定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值且在该点取得极值,则有存在故极值的必要条件的几何解释设函数z=f(x,y)在点（x0,y0）取得极值，则所以曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,z0)有切平面：所以曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,z0)有水平的切平面说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,有
4、驻点(0,0),但在该点不取极值.推论:有偏导数的极值点必为驻点注1:驻点不一定是极值点非极值点的驻点称为鞍点注2:极值点不一定是驻点因为极值点不一定有偏导数。例如,圆锥面在原点（0，0）取得极小值，但在原点，函数没有偏导数极值的充分条件？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当证明见第九节(P122).时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数且例2.求函数解:第一步求驻点.得驻点
5、:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;例3.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时
6、,为极小值为最小值(大)(大)依据例4.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.例5.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面令解得:由题意知,最大值在定义域D内
7、达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制(例4就是个条件极值问题。)方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题例如,转化条件极值的求法:方法2拉格朗日乘数法.分析：如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极故极值点必满足记例如,值问题,故有引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.推广拉格朗日乘数法可推
8、广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件例6.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对
