线性代数课件第二章 第二节 矩阵的运算.ppt

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1、第二节矩阵的运算一、矩阵的加法1.定义设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n，则矩阵C=(cij)m×n=(aij+bij)m×n.称为矩阵A与B的和，记作C=A+B.两矩阵的和=对应元素求和两矩阵同型时,才可以求和如:加法的运算规律设A,B,C,O都是m×n矩阵，则(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+O=O+A=A交换律结合律二、矩阵的减法(1)负矩阵设A=(aij)m×n,则称(－aij)m×n为A的负矩阵，简记－A显然A+(－A)=O,－(－A)=A(2)减法设A=(aij)m×n,B=(bij)m×nA－B=A+(－B)=(aij－

2、bij)m×n三、数与矩阵的乘法1、定义记为A，即设是常数，A=(aij)m×n，则矩阵(aij)m×n称为数与矩阵A的乘积，数与矩阵相乘=矩阵的每一个元素都与数相乘2.性质设A、B为m×n矩阵，、μ为常数(1)(μ)A=(μA)=μ(A);(2)(A+B)=A+B;(3)(+μ)A=A+μA;(4)1·A=A(－1)·A=－A矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.例1设求A－2B.解：2)已知且A+2X=B，求X.练习答案1)解：答案2)解：四、矩阵乘法1.定义并把此乘积记作注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才

3、能相乘.设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中Cij=A的第i行与B的第j列元素乘积之和A×B无意义;B×A有意义.+++第j列第i行=例2解：例3解：解：66页练习例4设矩阵求乘积AB和BA.解：注：ABBA，即矩阵乘法不满足交换律。练习试证：(1)AB=O；(2)AC=AD证：67页6故AC＝AD.解：更正练习用yi来表示xi从yi到xi的线性变换从xi到yi的线性变换用xi来表示yi解：从yi到xi的线性变换从zi到yi的线性变换从zi到xi的线性变换复习试证：(1)AB=O；(2)AC=AD证：故AC＝AD.两个非零矩阵的乘积有可能是零矩

4、阵矩阵乘法的运算规律（其中为数）;单位矩阵左乘矩阵A、右乘矩阵A的结果仍是原矩阵A单位矩阵在乘法中相似于1在乘法中的作用例如比较：在数的乘法中，若ab=0a=0或b=0两个非零矩阵乘积可能为O.在矩阵乘法中,若AB=OA=O或B=O在矩阵乘法中,若AC=AD,且AOC=D在数的乘法中，若ac=ad，且a0c=d(消去律成立)(消去律不成立)设A和B均为n阶方阵，且满足AB=O，则必有（）.（A）A=O或B=O（B）A+B=O（C）

5、A

6、=O或

7、B

8、=O（D）

9、A

10、+

11、B

12、=O思考如果AB=BA,则称A,B是可交换的.一般而言，例5设某化工厂第一季度各厂的生产情况以

13、及各产品成本和出产价如下表所示：产品产量B1B2B3A1A2203017201210价格产品成本价出厂价B1B2B3711207.211.320.5问：各厂第一季度各厂生产的各种产品的总产品成本和总出产价为多少？C=AB各厂各种产品的产量各种产品的成本价及出厂价解：价格分厂总成本价总出厂价A1567528.1A2630647例6（交通网络模型）右图示明了d国家三个城市，e国三个城市，f国两个城市相互间之道路.d1d2d3e1e2e3f2f1在d国家和e国家间城市通路情况可用下列形式表示：在e国和f国间城市通路情况可用下列形式表示：其中：0,1指城市间的通路数求：d国家和f国家

14、城市通路形式？解：d国家和e国家的通路形式e国家和f国家的通路形式e国家和f国家的通路形式d1d2d3f2f1Ⅵ)方阵的幂:若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且例7证明证：练习题(1)设A，B均是n阶方阵,且试证:B2=E.练习题(1)设A，B均是n阶方阵,且试证:B2=E.证：解例8解：67页8练习题解：五、矩阵的转置将矩阵Am×n的行换成同序数的列，列换成同序数的行所得的n×m矩阵称为A的转置矩阵，记作AT。例如：则1.定义2、转置矩阵的运算性质例8解：练习解：对称矩阵(1)若方阵A满足AT=A，即aji=aij，则称A为对称矩阵。对称阵的元素以主对角线为对称轴对应

15、相等.(2)若方阵A满足AT=－A,即aji=－aij，则称A为反对称矩阵。这时aii=0(i=1,2,…n)反对称阵的对角线上的元素全为0.例9证：67页8例10证：解：66页解：2、设α为3维列向量，αT是α的转置，若1、设B为三阶非零矩阵，且AB=O，则t=___________。3、复习证：于是得，A－AT为反对称阵.于是，A+AT为对称阵.七、矩阵的行列式定义若

16、A

17、0，则称方阵A是非奇异(非退化)的，否则，称A是奇异(退化)的。性质：(2)

18、A

19、=n

20、A

21、，(3)

22、AB

23、=

24、A

25、

26、B

27、